2023年6月21日发(作者：)

权重的计算⽅法，主要有两种：1.线性加权法；2.层次分析法（通过MATLAB实现）1.线性加权法 线性加权法的适⽤条件是各评价指标之间相互独⽴， 这样就可以利⽤多元线性回归⽅法来得到各指标对应的系数。 举个例⼦：所评价的对象是股票， 已知⼀些股票的各个指标以及这些股票的历史表现，其中最后⼀列标记为 1 的表⽰为上涨股票，标为 0 的表现为⼀般的股票，-1 的则为下跌的股票。希望根据这些已知的数据， 建⽴股票的评价模型，这样就可以利⽤模型评价新的股票。1.导⼊数据clear all, close alls = dataset('xlsfile', '');2.多元线性回归 当导⼊数据后，就可以先建⽴⼀个多元线性回归模型，具体实现过程和结果如下：myFit = (s);disp(myFit)sx=s(:,1:10);sy=s(:,11);n=1:size(s,1);sy1= predict(myFit,sx);figureplot(n,sy, 'ob', n, sy1,'*r')xlabel('样本编号', 'fontsize',12)ylabel('综合得分', 'fontsize',12)title('多元线性回归模型', 'fontsize',12)set(gca, 'linewidth',2) 该段程序执⾏后，得到的模型及模型中的参数如下。 利⽤该模型对原始数据进⾏预测，得到的股票综合得分如图1所⽰。从图中可以看出，尽管这些数据存在⼀定的偏差，但三个簇的分层⾮常明显，说明模型在刻画历史数据⽅⾯具有较⾼的准确度。 图1 多元线性回归模型得到的综合得分与原始得分的⽐较图3.逐步回归 上述是对所有变量进⾏回归，也可以使⽤逐步回归进⾏因⼦筛选，并可以得到优选因⼦后的模型，具体实现过程如下：myFit2 = se(s);disp(myFit2)sy2= predict(myFit2,sx);figureplot(n,sy, 'ob', n, sy2,'*r')xlabel('样本编号', 'fontsize',12)ylabel('综合得分', 'fontsize',12)title('逐步回归模型', 'fontsize',12)set(gca, 'linewidth',2) 该段程序执⾏后，得到的模型及模型中的参数如下。 从该模型中可以看出，逐步回归模型得到的模型少了 5 个单⼀因⼦，多了 5 个组合因⼦，模型的决定系数反⽽提⾼了⼀些，这说明逐步回归得到的模型精度更⾼些，影响因⼦更少些，这对于分析模型本⾝是⾮常有帮助的，尤其是在剔除因⼦⽅⾯。 利⽤该模型对原始数据进⾏预测，得到的股票综合得分如图 2 所⽰，总体趋势和图 1 相似。 图2 逐步回归模型得到的综合得分与原始得分的⽐较图 以上是线性加权法构建评价型模型的⽅法， 所⽤的程序框架对绝⼤多数的这类问题都可以直接应⽤，核⼼是要构建评价的指标体系，这是建模的基本功。总的来说，线性加权法的特点是：（1）该⽅法能使得各评价指标间作⽤得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性；（2）该⽅法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权重较⼤指标值对综合指标作⽤较⼤；（3）该⽅法计算简便，可操作性强，便于推⼴使⽤。2.层次分析法 层次分析法 (Analytic Hierarchy Process, AHP) 是美国运筹学家萨蒂（T. L. Saaty）等⼈ 20 世纪 70 年代初提出的⼀种决策⽅法，它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层⽐较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可⽐较的定量依据，它特别适⽤于那些难于完全⽤定量进⾏分析的复杂问题。因此在资源分配、选优排序、政策分析、冲突求解以及决策预报等领域得到⼴泛的应⽤。 AHP 的本质是根据⼈们对事物的认知特征，将感性认识进⾏定量化的过程。⼈们在分析多个因素时，⼤脑很难同时梳理那么多的信息，⽽层次分析法的优势就是通过对因素归纳、分层，并逐层分析和量化事物，以达到对复杂事物的更准确认识，从⽽帮助决策。 在数学建模中，层次分析法的应⽤场景⽐较多，归纳起来，主要有以下⼏个场景：(1) 评价、评判类的题⽬。这类题⽬都可以直接⽤层次分析法来评价，例如奥运会的评价、彩票⽅案的评价、导师和学⽣的相互选择、建模论⽂的评价、城市空⽓质量分析等。(2) 资源分配和决策类的题⽬。这类题⽬可以转化为评价类的题⽬，然后按照 AHP 进⾏求解，例如将⼀笔资⾦进⾏投资，有⼏个备选项⽬，那么如何进⾏投资分配最合理呢？这类题⽬中还有⼀个典型的应⽤，就是⽅案的选择问题，⽐如旅游景点的选择、电脑的挑选、学校的选择、专业的选择等等，这类应⽤可以说是 AHP 法最经典的应⽤场景了。(3) ⼀些优化问题，尤其是多⽬标优化问题。对于通常的优化问题，⽬前已有成熟的⽅法求解。然⽽，这些优化问题⼀旦具有如下特性之⼀，如：①问题中存在⼀些难以度量的因素；②问题的结构在很⼤程度上依赖于决策者的经验；③问题的某些变量之间存在相关性；④需要加⼊决策者的经验、偏好等因素，这时就很难单纯依靠⼀个优化的数学模型来求解。这类问题，通常的做法是借助 AHP 法将复杂的问题转化为典型的、便于求解的优化问题，⽐如多⽬标规划，借助层次分析法，确定各个⽬标的权重，从⽽将多⽬标规划问题转化为可以求解的单⽬标规划问题。 如何⽤ MATLAB 来实现层次分析法的过程，层次分析法中，需要 MATLAB 的地⽅主要就是将评判矩阵，转化为因素的权重矩阵。为此，这⾥只介绍如何⽤ MATLAB 来实现这⼀转化。将评判矩阵转化为权重矩阵，通常的做法就是求解矩阵最⼤特征根和对应阵向量。需要注意的是，在将评判矩阵转化为权重向量的过程中，⼀般需要先判断评判矩阵的⼀致性，因为通过⼀致性检验的矩阵，得到的权重才更可靠。 下⾯就以⼀个实例来说明如何应⽤ MATLAB 来求解权重矩阵，具体程序如下：%% AHP法权重计算MATLAB程序%% 数据读⼊clcclear allA=[1 2 6; 1/2 1 4; 1/6 1/4 1];% 评判矩阵%% ⼀致性检验和权向量计算[n,n]=size(A);[v,d]=eig(A);r=d(1,1);CI=(r-n)/(n-1);RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];CR=CI/RI(n);if CR<0.10 CR_Result='通过'; else CR_Result='不通过';

end

%% 权向量计算w=v(:,1)/sum(v(:,1));w=w';

%% 结果输出disp('该判断矩阵权向量计算报告：');disp(['⼀致性指标:' num2str(CI)]);disp(['⼀致性⽐例:' num2str(CR)]);disp(['⼀致性检验结果:' CR_Result]);disp(['特征值:' num2str(r)]);disp(['权向量:' num2str(w)]); 运⾏该程序，可得到以下结果：该判断矩阵权向量计算报告：⼀致性指标:0.0046014⼀致性⽐例:0.0079334⼀致性检验结果:通过特征值:3.0092权向量:0.58763 0.32339 0.088983 应⽤这段程序时，只要将评判矩阵输⼊到程序中，其它地⽅都不需要修改，然后就可以直接、准确地计算出对应的结果，所以这段程序在实际使⽤中⾮常灵活。

2023年6月21日发(作者：)

权重的计算⽅法，主要有两种：1.线性加权法；2.层次分析法（通过MATLAB实现）1.线性加权法 线性加权法的适⽤条件是各评价指标之间相互独⽴， 这样就可以利⽤多元线性回归⽅法来得到各指标对应的系数。 举个例⼦：所评价的对象是股票， 已知⼀些股票的各个指标以及这些股票的历史表现，其中最后⼀列标记为 1 的表⽰为上涨股票，标为 0 的表现为⼀般的股票，-1 的则为下跌的股票。希望根据这些已知的数据， 建⽴股票的评价模型，这样就可以利⽤模型评价新的股票。1.导⼊数据clear all, close alls = dataset('xlsfile', '');2.多元线性回归 当导⼊数据后，就可以先建⽴⼀个多元线性回归模型，具体实现过程和结果如下：myFit = (s);disp(myFit)sx=s(:,1:10);sy=s(:,11);n=1:size(s,1);sy1= predict(myFit,sx);figureplot(n,sy, 'ob', n, sy1,'*r')xlabel('样本编号', 'fontsize',12)ylabel('综合得分', 'fontsize',12)title('多元线性回归模型', 'fontsize',12)set(gca, 'linewidth',2) 该段程序执⾏后，得到的模型及模型中的参数如下。 利⽤该模型对原始数据进⾏预测，得到的股票综合得分如图1所⽰。从图中可以看出，尽管这些数据存在⼀定的偏差，但三个簇的分层⾮常明显，说明模型在刻画历史数据⽅⾯具有较⾼的准确度。 图1 多元线性回归模型得到的综合得分与原始得分的⽐较图3.逐步回归 上述是对所有变量进⾏回归，也可以使⽤逐步回归进⾏因⼦筛选，并可以得到优选因⼦后的模型，具体实现过程如下：myFit2 = se(s);disp(myFit2)sy2= predict(myFit2,sx);figureplot(n,sy, 'ob', n, sy2,'*r')xlabel('样本编号', 'fontsize',12)ylabel('综合得分', 'fontsize',12)title('逐步回归模型', 'fontsize',12)set(gca, 'linewidth',2) 该段程序执⾏后，得到的模型及模型中的参数如下。 从该模型中可以看出，逐步回归模型得到的模型少了 5 个单⼀因⼦，多了 5 个组合因⼦，模型的决定系数反⽽提⾼了⼀些，这说明逐步回归得到的模型精度更⾼些，影响因⼦更少些，这对于分析模型本⾝是⾮常有帮助的，尤其是在剔除因⼦⽅⾯。 利⽤该模型对原始数据进⾏预测，得到的股票综合得分如图 2 所⽰，总体趋势和图 1 相似。 图2 逐步回归模型得到的综合得分与原始得分的⽐较图 以上是线性加权法构建评价型模型的⽅法， 所⽤的程序框架对绝⼤多数的这类问题都可以直接应⽤，核⼼是要构建评价的指标体系，这是建模的基本功。总的来说，线性加权法的特点是：（1）该⽅法能使得各评价指标间作⽤得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性；（2）该⽅法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权重较⼤指标值对综合指标作⽤较⼤；（3）该⽅法计算简便，可操作性强，便于推⼴使⽤。2.层次分析法 层次分析法 (Analytic Hierarchy Process, AHP) 是美国运筹学家萨蒂（T. L. Saaty）等⼈ 20 世纪 70 年代初提出的⼀种决策⽅法，它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层⽐较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可⽐较的定量依据，它特别适⽤于那些难于完全⽤定量进⾏分析的复杂问题。因此在资源分配、选优排序、政策分析、冲突求解以及决策预报等领域得到⼴泛的应⽤。 AHP 的本质是根据⼈们对事物的认知特征，将感性认识进⾏定量化的过程。⼈们在分析多个因素时，⼤脑很难同时梳理那么多的信息，⽽层次分析法的优势就是通过对因素归纳、分层，并逐层分析和量化事物，以达到对复杂事物的更准确认识，从⽽帮助决策。 在数学建模中，层次分析法的应⽤场景⽐较多，归纳起来，主要有以下⼏个场景：(1) 评价、评判类的题⽬。这类题⽬都可以直接⽤层次分析法来评价，例如奥运会的评价、彩票⽅案的评价、导师和学⽣的相互选择、建模论⽂的评价、城市空⽓质量分析等。(2) 资源分配和决策类的题⽬。这类题⽬可以转化为评价类的题⽬，然后按照 AHP 进⾏求解，例如将⼀笔资⾦进⾏投资，有⼏个备选项⽬，那么如何进⾏投资分配最合理呢？这类题⽬中还有⼀个典型的应⽤，就是⽅案的选择问题，⽐如旅游景点的选择、电脑的挑选、学校的选择、专业的选择等等，这类应⽤可以说是 AHP 法最经典的应⽤场景了。(3) ⼀些优化问题，尤其是多⽬标优化问题。对于通常的优化问题，⽬前已有成熟的⽅法求解。然⽽，这些优化问题⼀旦具有如下特性之⼀，如：①问题中存在⼀些难以度量的因素；②问题的结构在很⼤程度上依赖于决策者的经验；③问题的某些变量之间存在相关性；④需要加⼊决策者的经验、偏好等因素，这时就很难单纯依靠⼀个优化的数学模型来求解。这类问题，通常的做法是借助 AHP 法将复杂的问题转化为典型的、便于求解的优化问题，⽐如多⽬标规划，借助层次分析法，确定各个⽬标的权重，从⽽将多⽬标规划问题转化为可以求解的单⽬标规划问题。 如何⽤ MATLAB 来实现层次分析法的过程，层次分析法中，需要 MATLAB 的地⽅主要就是将评判矩阵，转化为因素的权重矩阵。为此，这⾥只介绍如何⽤ MATLAB 来实现这⼀转化。将评判矩阵转化为权重矩阵，通常的做法就是求解矩阵最⼤特征根和对应阵向量。需要注意的是，在将评判矩阵转化为权重向量的过程中，⼀般需要先判断评判矩阵的⼀致性，因为通过⼀致性检验的矩阵，得到的权重才更可靠。 下⾯就以⼀个实例来说明如何应⽤ MATLAB 来求解权重矩阵，具体程序如下：%% AHP法权重计算MATLAB程序%% 数据读⼊clcclear allA=[1 2 6; 1/2 1 4; 1/6 1/4 1];% 评判矩阵%% ⼀致性检验和权向量计算[n,n]=size(A);[v,d]=eig(A);r=d(1,1);CI=(r-n)/(n-1);RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];CR=CI/RI(n);if CR<0.10 CR_Result='通过'; else CR_Result='不通过';

end

%% 权向量计算w=v(:,1)/sum(v(:,1));w=w';

%% 结果输出disp('该判断矩阵权向量计算报告：');disp(['⼀致性指标:' num2str(CI)]);disp(['⼀致性⽐例:' num2str(CR)]);disp(['⼀致性检验结果:' CR_Result]);disp(['特征值:' num2str(r)]);disp(['权向量:' num2str(w)]); 运⾏该程序，可得到以下结果：该判断矩阵权向量计算报告：⼀致性指标:0.0046014⼀致性⽐例:0.0079334⼀致性检验结果:通过特征值:3.0092权向量:0.58763 0.32339 0.088983 应⽤这段程序时，只要将评判矩阵输⼊到程序中，其它地⽅都不需要修改，然后就可以直接、准确地计算出对应的结果，所以这段程序在实际使⽤中⾮常灵活。