2023年6月21日发(作者：)

《分层随机抽样的均值与方差》教学设计

教学设计

一、创设情境

某学校高一年级，如果只知道甲班和乙班的数学平均成绩和方差，以及甲班和乙班的人数，而缺少每名学生的成绩，如何计算整个高一年级数学的平均成绩和方差？

教师提出问题，引入本节课的课题.

设计意图：如果不知道样本中的每一个数据，只知道分层随机抽样中各层的平均数和方差，以及各层所占的比例（权重），如何计算样本的平均数和方差？这是一个新问题.提出问题，引发学生思考，激发学生学习兴趣，引入课题.

二、温故知新

1.我们前面学习了哪些抽样的方法？如何选择恰当的方法进行抽样？

提示：简单随机抽样与分层随机抽样，当总体有明显的层次差异时用分层随机抽样.

2.如何计算样本数据的均值、方差和标准差？

（1）如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次xk出现fk次f1f2xfkn，那么这n个数的加权平均数是

xkfk.

122x1xx2xnxnx)2.

2xnx.

1x1f1x2f2n（2）方差：s2（3）标准差：s122x1xx2xn三、探索分层抽样的平均数

例1、某公司的高收入员工月平均工资是11000元，中等收入员工月平均工资是6500元，低收入员工月平均工资是2900元.能否认为该公司员工的月平均工资收入是11000650029006800（元）？这样计算平均数的方法合理吗？

3教师追问：（1）如果该公司有90名员工，其中高收入者、中等收入者和低收入者分别是30名，这种计算方法合理吗？

1 / 7

（2）如果该公司有10名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收入者，800名属于低收入者，这种计算方法合理吗？

先找几名学生分析，根据学生分析的情况进行点评总结.

对于问题（1），由于高收入者、中等收入者和低收入者占的比例相同，这种计算方法是合理的.

对于问题（2），由于每一类员工所占比例不同，特别是高收入者很少，他们的月平均工资对该公司员工的月平均工资影响较小.因此，上述计算方法显然不合理.

设计意图：让学生从感性上认识平均数并不是简单的几个数字相加除以数字的个数，还要考虑数字所占的比例（权重）.

例2、甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭.他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率.甲在网站A查到的好评率是98%，而乙在网站B查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的总好评率？

教师追问：（1）根据给出的信息，你能计算出这家餐馆的好评率吗？

（不能计算）

（2）假设网站A有100人进行评价，网站B也有100人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？

（好评率为98%85%91.5%）

2（3）假设网站A有100人进行评价，网站B有200人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？

（好评率为10098%20085%89.3%）

300（4）假设网站A有n1人进行评价，网站B有n2人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？

（好评率为：设在网站A评价该餐馆的人数为n1，其中给出好评的人数为m1；在网站B评价该餐馆的人数为n2，其中给出好评的人数为m2.由题目条件，m1m98%，285%.综合A，B两个网站的信息，这家餐馆的总好评率应为n1n2 2 / 7

m1m2，化简得

n1n20.98n10.85n2n1n20.980.85.

n1n2n1n2n1n2其中，n1n2和分别是各自的权重，总好评率等于相应的好评率与其n1n2n1n2权重乘积的和.

所以除非再知道A，B两个网站评价人数的比例关系，否则并不能求出总好评率.

设计意图：通过问题设计，给学生搭建台阶，使问题的跨度减小，引导学生逐步深入思考，最后得出结论这样使一般的学生比较容易接受.

抽象概括：

1.一般地，将样本a1,a2,样本的平均数为

,am和样本b1,b2,,bn合并成一个新样本，则这个新a1a2amb1b2mnbnma1a2amnb1b2mnmmnnbm

mnx1x2.

mnmn其中样本a1,a2,,am的平均数为x1，样本b1,b2,,bn的平均数为x2，记w1mn称为权重.

,w2mnmn2.设样本中不同层的平均数和相应权重分别为x1,x2,,xn和w1,w2,,wn，则这个样本的平均数如何计算？

设样本中不同层的平均数和相应权重分别为x1,x2,个样本的平均数为w1x1w2x2w1x1w2x2wnxnwixi

i1n,xn和w1,w2,,wn，则这wnxn，为了简化表示，引进求和符号，记作四、探索分层抽样的方差

例3、甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么 3 / 7

甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？

让学生自己完成甲、乙两班全部90名学生的平均成绩的计算，教师可以找两名学生板演计算过程.

解：设甲班50名学生的成绩分别是a1,a2,重和方差分别为

,a50，那么甲班的平均成绩、权x甲

a1a2a5050，

80.5分,w甲

509022a1x甲a2x甲s2甲a50x甲250500.

设乙班40名学生的成绩分别是b1,b2,方差分别为

,b40，那么乙班的平均成绩、权重和x乙2s乙b1b2b4040

85分,w乙409022bxb2x乙1乙b40x乙240360.

如果不知道a1,a2,,a50和b1,b2,,b40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及权重，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为

x甲x甲乙x乙504080.58582.5（分）

9090提出问题：如何计算90名学生的方差？

先让学生进行充分的思考讨论，然后引导学生利用方差公式进行推导.

全部90名学生的方差可以用式子

2222s2w甲s甲x甲xw乙s乙x乙x①

进行计算，因此，

2222

s2w甲

s甲xxwsxx 甲 乙乙乙

504022500(80.582.5)360(8582.5)

90905050050440360406.25442.78.

90根据方差的意义，全部90名学生的方差为

4 / 7

4015022，它与运用式子①得出的结果是否一致呢？

axbxii90i1i1实际上

aixi150502aix甲x甲x

i150222aix甲2aix甲x甲xx甲x

i15050aix甲2x甲xaix甲50x甲x.

i1i122因为aix甲a1a2i15025050a5050x甲0，

22所以aixaix甲50x甲x.

i140i140同理bixbix乙40x乙x.

i1i1222于是50axbxiii1i

40aix甲i15050x甲xbix乙40x乙x2i1290

405090aix甲i125050x甲x9024090bix乙i124040x乙x

9022222w甲s甲x甲xw乙s乙x乙x.

让学生代入公式求全部90名学生的方差教师找两名学生板演计算过程.

抽象概括：

设样本中不同层的平均数分别为x1,x2,的权重分别为1,2,2,,xn，方差分别为s12,s22,sn，相应2,n，则这个样本的方差为sisi2xix，其中i12n 5 / 7

x为这个样本的平均数.

设计意图：分层随机抽样样本方差公式的推导，运算量比较大，对学生的计算能力要求比较高，教师要根据学生的具体情况，进行必要的引导，帮助学生完成推导过程由于推导过程比较烦琐，推导出公式后，要求学生记住这个公式.

五、课堂总结

引导学生从两个方面进行归纳：

1.分层随机抽样的均值与方差公式的推导.

2.分层随机抽样的均值与方差公式的应用.

六、课后作业

1.教材第171页练习第1题.

2.教材第173页练习第1题.

板书设计

4.2分层随机抽样的均值与方差

一、分层随机抽样的均值

1.一般地，将样本a1,a2,个新样本的平均数为

amb1b2bnma1a2ammnmnmnb1b2bmmnx1x2.

mnnmnmna1a2,am和样本b1,b2,,bn合并成一个新样本，则这其中样本a1,a2,w1,am的平均数为x1，样本b1,b2,,bn的平均数为x2.记mn称为权重

,w2mnmn2.设样本中不同层的平均数和相应权重分别为x1,x2,则这个样本的平均数为w1x1w2x2记作

w1x1w2x2wnxnwixi

i1n,xn和w1,w2,,wn，wnxn，为了简化表示，引进求和符号，二、分层随机抽样的方差

6 / 7

设样本中不同层的平均数分别为x1,x2,应的权重分别为1,2,2,,xn，方差分别为s12,s22,sn，相2,n，则这个样本的方差为sisi2xix，i12n其中x为这个样本的平均数

教学研讨

本案例通过设计问题情境，引发学生思考，激发学生探索欲望.分层随机抽样的均值的学习，由例4的感性认识到例5的理论推导，在推导过程中，设计层层递进的问题，给学生的思维搭建台阶，体现数学由特殊到一般的思维过程，学生比较容易接受.分层随机抽样的方差，公式的推导运算量比较大，要求学生有一定的运算能力，特别是刚接触求和符号“Σ”，学生对含有求和符号的式子的处理更加困难，因此教师对于分层随机抽样方差公式的推导要根据学生的情况做合理的要求，不要统一要求，但是要求学生要记住公式，在具体问题中能够直接运用.

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2023年6月21日发(作者：)

《分层随机抽样的均值与方差》教学设计

教学设计

一、创设情境

某学校高一年级，如果只知道甲班和乙班的数学平均成绩和方差，以及甲班和乙班的人数，而缺少每名学生的成绩，如何计算整个高一年级数学的平均成绩和方差？

教师提出问题，引入本节课的课题.

设计意图：如果不知道样本中的每一个数据，只知道分层随机抽样中各层的平均数和方差，以及各层所占的比例（权重），如何计算样本的平均数和方差？这是一个新问题.提出问题，引发学生思考，激发学生学习兴趣，引入课题.

二、温故知新

1.我们前面学习了哪些抽样的方法？如何选择恰当的方法进行抽样？

提示：简单随机抽样与分层随机抽样，当总体有明显的层次差异时用分层随机抽样.

2.如何计算样本数据的均值、方差和标准差？

（1）如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次xk出现fk次f1f2xfkn，那么这n个数的加权平均数是

xkfk.

122x1xx2xnxnx)2.

2xnx.

1x1f1x2f2n（2）方差：s2（3）标准差：s122x1xx2xn三、探索分层抽样的平均数

例1、某公司的高收入员工月平均工资是11000元，中等收入员工月平均工资是6500元，低收入员工月平均工资是2900元.能否认为该公司员工的月平均工资收入是11000650029006800（元）？这样计算平均数的方法合理吗？

3教师追问：（1）如果该公司有90名员工，其中高收入者、中等收入者和低收入者分别是30名，这种计算方法合理吗？

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（2）如果该公司有10名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收入者，800名属于低收入者，这种计算方法合理吗？

先找几名学生分析，根据学生分析的情况进行点评总结.

对于问题（1），由于高收入者、中等收入者和低收入者占的比例相同，这种计算方法是合理的.

对于问题（2），由于每一类员工所占比例不同，特别是高收入者很少，他们的月平均工资对该公司员工的月平均工资影响较小.因此，上述计算方法显然不合理.

设计意图：让学生从感性上认识平均数并不是简单的几个数字相加除以数字的个数，还要考虑数字所占的比例（权重）.

例2、甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭.他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率.甲在网站A查到的好评率是98%，而乙在网站B查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的总好评率？

教师追问：（1）根据给出的信息，你能计算出这家餐馆的好评率吗？

（不能计算）

（2）假设网站A有100人进行评价，网站B也有100人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？

（好评率为98%85%91.5%）

2（3）假设网站A有100人进行评价，网站B有200人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？

（好评率为10098%20085%89.3%）

300（4）假设网站A有n1人进行评价，网站B有n2人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？

（好评率为：设在网站A评价该餐馆的人数为n1，其中给出好评的人数为m1；在网站B评价该餐馆的人数为n2，其中给出好评的人数为m2.由题目条件，m1m98%，285%.综合A，B两个网站的信息，这家餐馆的总好评率应为n1n2 2 / 7

m1m2，化简得

n1n20.98n10.85n2n1n20.980.85.

n1n2n1n2n1n2其中，n1n2和分别是各自的权重，总好评率等于相应的好评率与其n1n2n1n2权重乘积的和.

所以除非再知道A，B两个网站评价人数的比例关系，否则并不能求出总好评率.

设计意图：通过问题设计，给学生搭建台阶，使问题的跨度减小，引导学生逐步深入思考，最后得出结论这样使一般的学生比较容易接受.

抽象概括：

1.一般地，将样本a1,a2,样本的平均数为

,am和样本b1,b2,,bn合并成一个新样本，则这个新a1a2amb1b2mnbnma1a2amnb1b2mnmmnnbm

mnx1x2.

mnmn其中样本a1,a2,,am的平均数为x1，样本b1,b2,,bn的平均数为x2，记w1mn称为权重.

,w2mnmn2.设样本中不同层的平均数和相应权重分别为x1,x2,,xn和w1,w2,,wn，则这个样本的平均数如何计算？

设样本中不同层的平均数和相应权重分别为x1,x2,个样本的平均数为w1x1w2x2w1x1w2x2wnxnwixi

i1n,xn和w1,w2,,wn，则这wnxn，为了简化表示，引进求和符号，记作四、探索分层抽样的方差

例3、甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么 3 / 7

甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？

让学生自己完成甲、乙两班全部90名学生的平均成绩的计算，教师可以找两名学生板演计算过程.

解：设甲班50名学生的成绩分别是a1,a2,重和方差分别为

,a50，那么甲班的平均成绩、权x甲

a1a2a5050，

80.5分,w甲

509022a1x甲a2x甲s2甲a50x甲250500.

设乙班40名学生的成绩分别是b1,b2,方差分别为

,b40，那么乙班的平均成绩、权重和x乙2s乙b1b2b4040

85分,w乙409022bxb2x乙1乙b40x乙240360.

如果不知道a1,a2,,a50和b1,b2,,b40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及权重，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为

x甲x甲乙x乙504080.58582.5（分）

9090提出问题：如何计算90名学生的方差？

先让学生进行充分的思考讨论，然后引导学生利用方差公式进行推导.

全部90名学生的方差可以用式子

2222s2w甲s甲x甲xw乙s乙x乙x①

进行计算，因此，

2222

s2w甲

s甲xxwsxx 甲 乙乙乙

504022500(80.582.5)360(8582.5)

90905050050440360406.25442.78.

90根据方差的意义，全部90名学生的方差为

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4015022，它与运用式子①得出的结果是否一致呢？

axbxii90i1i1实际上

aixi150502aix甲x甲x

i150222aix甲2aix甲x甲xx甲x

i15050aix甲2x甲xaix甲50x甲x.

i1i122因为aix甲a1a2i15025050a5050x甲0，

22所以aixaix甲50x甲x.

i140i140同理bixbix乙40x乙x.

i1i1222于是50axbxiii1i

40aix甲i15050x甲xbix乙40x乙x2i1290

405090aix甲i125050x甲x9024090bix乙i124040x乙x

9022222w甲s甲x甲xw乙s乙x乙x.

让学生代入公式求全部90名学生的方差教师找两名学生板演计算过程.

抽象概括：

设样本中不同层的平均数分别为x1,x2,的权重分别为1,2,2,,xn，方差分别为s12,s22,sn，相应2,n，则这个样本的方差为sisi2xix，其中i12n 5 / 7

x为这个样本的平均数.

设计意图：分层随机抽样样本方差公式的推导，运算量比较大，对学生的计算能力要求比较高，教师要根据学生的具体情况，进行必要的引导，帮助学生完成推导过程由于推导过程比较烦琐，推导出公式后，要求学生记住这个公式.

五、课堂总结

引导学生从两个方面进行归纳：

1.分层随机抽样的均值与方差公式的推导.

2.分层随机抽样的均值与方差公式的应用.

六、课后作业

1.教材第171页练习第1题.

2.教材第173页练习第1题.

板书设计

4.2分层随机抽样的均值与方差

一、分层随机抽样的均值

1.一般地，将样本a1,a2,个新样本的平均数为

amb1b2bnma1a2ammnmnmnb1b2bmmnx1x2.

mnnmnmna1a2,am和样本b1,b2,,bn合并成一个新样本，则这其中样本a1,a2,w1,am的平均数为x1，样本b1,b2,,bn的平均数为x2.记mn称为权重

,w2mnmn2.设样本中不同层的平均数和相应权重分别为x1,x2,则这个样本的平均数为w1x1w2x2记作

w1x1w2x2wnxnwixi

i1n,xn和w1,w2,,wn，wnxn，为了简化表示，引进求和符号，二、分层随机抽样的方差

6 / 7

设样本中不同层的平均数分别为x1,x2,应的权重分别为1,2,2,,xn，方差分别为s12,s22,sn，相2,n，则这个样本的方差为sisi2xix，i12n其中x为这个样本的平均数

教学研讨

本案例通过设计问题情境，引发学生思考，激发学生探索欲望.分层随机抽样的均值的学习，由例4的感性认识到例5的理论推导，在推导过程中，设计层层递进的问题，给学生的思维搭建台阶，体现数学由特殊到一般的思维过程，学生比较容易接受.分层随机抽样的方差，公式的推导运算量比较大，要求学生有一定的运算能力，特别是刚接触求和符号“Σ”，学生对含有求和符号的式子的处理更加困难，因此教师对于分层随机抽样方差公式的推导要根据学生的情况做合理的要求，不要统一要求，但是要求学生要记住公式，在具体问题中能够直接运用.

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