循环赛日程表非递归Java_王晓东《算法设计与分析》课件.ppt

2023年6月20日发(作者：)

循环赛⽇程表⾮递归Java_王晓东《算法设计与分析》课件.ppt《王晓东《算法设计与分析》课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《王晓东《算法设计与分析》课件.ppt(356页珍藏版)》请在⼈⼈⽂库⽹上搜索。1、1,中国计算机学会“21世纪⼤学本科计算机专业系列教材”算法设计与分析,王晓东编著,2,主要内容介绍,第1章算法引论 第2章递归与分治策略 第3章动态规划 第4章贪⼼算法 第5章回溯法 第6章分⽀限界法,3,主要内容介绍(续),第7章概率算法 第8章NP完全性理论 第9章近似算法 第10章算法优化策略,4,第1章 算法引论,1.1算法与程序 1.2表达算法的抽象机制 1.3描述算法 1.4算法复杂性分析,本章主要知识点：,5,1.1算法与程序,输 ⼊：有零个或多个外部量作为算法的输⼊。 输 出：算法产⽣⾄少⼀个量作为输出。 确定性：组成算法的每条指令清晰、⽆歧义。 有限性：算法中每条指令的执⾏。2、次数有限，执⾏每条指令的时间也有限。,是算法⽤某种程序设计语⾔的具体实现。 程序可以不满⾜算法的性质(4)即有限性。,是满⾜下述性质的指令序列。,算法：,程序：,6,1.从机器语⾔到⾼级语⾔的抽象,1.2表达算法的抽象机制,⾼级程序设计语⾔的主要好处是：,(4)把繁杂琐碎的事务交给编译程序，所以⾃动化程度⾼，开发周期短，程序员可以集中时间和精⼒从事更重要的创造性劳动，提⾼程序质量。,(1)⾼级语⾔更接近算法语⾔，易学、易掌握，⼀般⼯程技术⼈员只需 要⼏周时间的培训就可以胜任程序员的⼯作；,(2)⾼级语⾔为程序员提供了结构化程序设计的环境和⼯具，使得设计出来的程序可读性好，可维护性强，可靠性⾼；。3、,(3)⾼级语⾔不依赖于机器语⾔，与具体的计算机硬件关系不⼤，因⽽所写出来的程序可植性好、重⽤率⾼；,7,2.抽象数据类型,1.2表达算法的抽象机制,抽象数据类型是算法的⼀个数据模型连同定义在该模型上 并作为算法构件的⼀组运算。,抽象数据类型带给算法设计的好处有：,(1)算法顶层设计与底层实现分离； (2)算法设计与数据结构设计隔开，允许数据结构⾃由选择； (3)数据模型和该模型上的运算统⼀在ADT中，便于空间和时间耗费的折衷； (4)⽤抽象数据类型表述的算法具有很好的可维护性； (5)算法⾃然呈现模块化； (6)为⾃顶向下逐步求精和模块化提供有效途径和⼯具； (7)算法结构清晰，层次分明，便。4、于算法正确性的证明和复杂性的分析。,8,在本书中，采⽤Java语⾔描述算法。 程序结构,1.3描述算法,以下，对Java语⾔的若⼲重要特性作简要概述。,(1)Java程序的两种类型：应⽤程序和applet 区别：应⽤程序的主⽅法为main，其可在命令⾏中⽤命令 语句 java应⽤程序名 来执⾏； applet的主⽅法为init，其必须嵌⼊HTML⽂件，由 Web浏览器或applet阅读器来执⾏。,(2)包：java程序和类可以包(packages)的形式组织管理。,(3)import语句：在java程序中可⽤import语句加载所需的包。 例如，import .*;。5、语句加载包。,9,1.3描述算法,数据类型,Java对两种数据类型的不同处理⽅式：,s = new String(“Welcome”); Strings = new String(“Welcome”);,10,1.3描述算法,表格1-1 Java基本数据类型,11,1.3描述算法,3.⽅法,在Java中，执⾏特定任务的函数或过程统称为⽅法(methods) 。 例如，java的Math类给出的常见数学计算的⽅法如下表所⽰：,12,1.3描述算法,3.⽅法,计算表达式 值的⾃定义⽅法ab描述如下：,public static int ab(int a, int b) 。6、return (a+b+(a-b)/2; ,(1)⽅法参数：Java中所有⽅法的参数均为值参数。上述⽅法ab中，a和b是形式参数，在调⽤⽅法时通过实际参数赋值。,(2)⽅法重载：Java允许⽅法重载，即允许定义有不同签名的同名⽅法。 上述⽅法ab可重载为：,public static doubleab(double a, double b) return (a+b+(a-b)/2.0; ,13,1.3描述算法,4.异常,Java的异常提供了⼀种处理错误的⽅法。当程序发现⼀个错误，就引发⼀个异常，以便在合适地⽅捕获异常并进⾏处理。,通常⽤try块来定义异常处理。。7、每个异常处理由⼀个catch语句组成。,public static void main(String args) try f ( ); catch (exception1) 异常处理; catch(exception2) 异常处理; finally finally块; ,14,1.3描述算法,的类,(4)访问修饰,Java的类⼀般由4个部分组成：,(1)类名,(2)数据成员,(3)⽅法,15,1.3描述算法,6.通⽤⽅法,下⾯的⽅法swap⽤于交换⼀维整型数组a的位置i和位置j处的值。,public static void swap(int a, inti, int j) in。8、t temp = ai; ai = aj; aj = temp; ,public static void swap(object a, int i, int j) object temp = ai; ai = aj; aj = temp; ,该⽅法只适⽤于 整型数组,该⽅法具有通⽤性，适⽤于Object类型及其所有⼦类,以上⽅法修改如下：,16,1.3描述算法,6.通⽤⽅法,(1)Computable界⾯,public static Computable sum(Computable a, int n) if ( = 0) return null; Computable sum。9、 = (Computable) (); for (int i = 0; i n; i+) ent(ai); return sum; ,利⽤此界⾯使 ⽅法sum通⽤化,17,1.3描述算法,6.通⽤⽅法,(2)able 界⾯,Java的Comparable 界⾯中惟⼀的⽅法头compareTo⽤于⽐较 2个元素的⼤⼩。例如o(y) 返回x-y的符号，当xy时返 回正数。,(3)Operable 界⾯,有些通⽤⽅法同时需要Computable界⾯和Comparable 界⾯ 的⽀持。为此可定义Oper。10、able界⾯如下:,public interface Operable extends Computable, Comparable ,(4)⾃定义包装类,由于Java的包装类如Integer等已定义为final型，因此⽆法 定义其⼦类，作进⼀步扩充。为了需要可⾃定义包装类。,18,1.3描述算法,7.垃圾收集 8.递归,Java的new运算⽤于分配所需的内存空间。 例如， int a = new int500000; 分配2000000字节空间 给整型数组a。频繁⽤new分配空间可能会耗尽内存。Java的垃 圾收集器会适时扫描内存，回收不⽤的空间(垃圾)给new重新 分配。,Java允许⽅法。11、调⽤其⾃⾝。这类⽅法称为递归⽅法。,public static int sum(int a, int n) if (n=0) return 0; else return an-1+sum(a,n-1); ,计算⼀维整型数组前n个元素之和的递归⽅法,19,1.4算法复杂性分析,算法复杂性是算法运⾏所需要的计算机资源的量， 需要时间资源的量称为时间复杂性，需要的空间资源的 量称为空间复杂性。这个量应该只依赖于算法要解的问 题的规模、算法的输⼊和算法本⾝的函数。如果分别⽤ N、I和A表⽰算法要解问题的规模、算法的输⼊和算法 本⾝，⽽且⽤C表⽰复杂性，那么，应该有C=F(N,I,A)。 ⼀般把时间复杂。12、性和空间复杂性分开，并分别⽤T和S来 表⽰，则有： T=T(N,I)和S=S(N,I) 。 (通常，让A隐含在复杂性函数名当中),20,1.4算法复杂性分析,最坏情况下的时间复杂性：,最好情况下的时间复杂性：,平均情况下的时间复杂性：,其中DN是规模为N的合法输⼊的集合；I*是DN中使T(N, I*) 达到Tmax(N)的合法输⼊； 是中使T(N, )达到Tmin(N)的合法 输⼊；⽽P(I)是在算法的应⽤中出现输⼊I的概率。,21,1.4算法复杂性分析,算法复杂性在渐近意义下的阶：,渐近意义下的记号：O、o 设f(N)和g(N)是定义在正数集上的正函数。,O的定义：如果存在正的常数C和⾃然数。13、N0，使得当NN0时有f(N)Cg(N)，则称函数f(N)当N充分⼤时上有界，且g(N)是它的⼀个上界，记为f(N)=O(g(N)。即f(N)的阶不⾼于g(N)的阶。,根据O的定义，容易证明它有如下运算规则： (1)O(f)+O(g)=O(max(f,g)； (2)O(f)+O(g)=O(f+g)；(3)O(f)O(g)=O(fg)； (4)如果g(N)=O(f(N)，则O(f)+O(g)=O(f)； (5)O(Cf(N)=O(f(N)，其中C是⼀个正的常数； (6)f=O(f)。,22,1.4算法复杂性分析,的定义：如果存在正的常数C和⾃然数N0，使得当NN0时 有f(N)Cg(N)，则称。14、函数f(N)当N充分⼤时下有界，且g(N)是它 的⼀个下界，记为f(N)=(g(N)。即f(N)的阶不低于g(N)的阶。,的定义：定义f(N)= (g(N)当且仅当f(N)=O(g(N)且 f(N)= (g(N)。此时称f(N)与g(N)同阶。,o的定义：对于任意给定的0，都存在正整数N0，使得 当NN0时有f(N)/Cg(N),则称函数f(N)当N充分⼤时的阶⽐ g(N)低，记为f(N)=o(g(N)。 例如，4NlogN+7=o(3N2+4NlogN+7)。,23,第2章 递归与分治策略,24,将要求解的较⼤规模的问题分割成k个更⼩规模的⼦问题。,算法总体思想,n,T(n/2),T(n/2。15、),T(n/2),T(n/2),T(n),=,对这k个⼦问题分别求解。如果⼦问题的规模仍然不够⼩，则再划分为k个⼦问题，如此递归的进⾏下去，直到问题规模⾜够⼩，很容易求出其解为⽌。,25,算法总体思想,对这k个⼦问题分别求解。如果⼦问题的规模仍然不够⼩，则再划分为k个⼦问题，如此递归的进⾏下去，直到问题规模⾜够⼩，很容易求出其解为⽌。,n,T(n),=,将求出的⼩规模的问题的解合并为⼀个更⼤规模的问题的解，⾃底向上逐步求出原来问题的解。,26,算法总体思想,将求出的⼩规模的问题的解合并为⼀个更⼤规模的问题的解，⾃底向上逐步求出原来问题的解。,n,T(n),=,27,算法总体思想,将求出的⼩规模。16、的问题的解合并为⼀个更⼤规模的问题的解，⾃底向上逐步求出原来问题的解。,分治法的设计思想是，将⼀个难以直接解决的⼤问题， 分割成⼀些规模较⼩的相同问题，以便各个击破， 分⽽治之。 凡治众如治寡，分数是也。 -孙⼦兵法,28,2.1 递归的概念,直接或间接地调⽤⾃⾝的算法称为递归算法。⽤函数⾃⾝给出定义的函数称为递归函数。 由分治法产⽣的⼦问题往往是原问题的较⼩模式，这就为使⽤递归技术提供了⽅便。在这种情况下，反复应⽤分治⼿段，可以使⼦问题与原问题类型⼀致⽽其规模却不断缩⼩，最终使⼦问题缩⼩到很容易直接求出其解。这⾃然导致递归过程的产⽣。 分治与递归像⼀对孪⽣兄弟，经常同时应⽤在算法设计之中，并。17、由此产⽣许多⾼效算法。,下⾯来看⼏个实例。,29,2.1 递归的概念,例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为：,边界条件,递归⽅程,边界条件与递归⽅程是递归函数的⼆个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。,30,2.1 递归的概念,例2Fibonacci数列 ⽆穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，被称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：,边界条件,递归⽅程,第n个Fibonacci数可递归地计算如下： public static int fibonacci(int n) if (n = 1) return 1; return fibona。18、cci(n-1)+fibonacci(n-2); ,31,32,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数 当⼀个函数及它的⼀个变量是由函数⾃⾝定义时，称这个函数是双递归函数。 Ackerman函数A(n，m)定义如下：,33,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数 前2例中的函数都可以找到相应的⾮递归⽅式定义：,但本例中的Ackerman函数却⽆法找到⾮递归的定义。,34,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数 A(n，m)的⾃变量m的每⼀个值都定义了⼀个单变量函数： M=0时，A(n,0)=n+2 M=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2。19、，和A(1,1)=2故A(n,1)=2*n M=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2n 。M=3时，类似的可以推出 M=4时，A(n,4)的增长速度⾮常快，以⾄于没有适当的数学式⼦来表⽰这⼀函数。,35,2.1 递归的概念,例3Ackerman函数 定义单变量的Ackerman函数A(n)为，A(n)=A(n，n)。 定义其拟逆函数(n)为：(n)=minkA(k)n。即(n)是使nA(k)成⽴的最⼩的k值。 (n)在复杂度分析中常遇到。对于通常所见到的正整数n，有(n)4。但在理。20、论上(n)没有上界，随着n的增加，它以难以想象的慢速度趋向正⽆穷⼤。,36,2.1 递归的概念,例4 排列问题 设计⼀个递归算法⽣成n个元素r1,r2,rn的全排列。,设R=r1,r2,rn是要进⾏排列的n个元素，Ri=R-ri。 集合X中元素的全排列记为perm(X)。 (ri)perm(X)表⽰在全排列perm(X)的每⼀个排列前加上前缀得到的排列。R的全排列可归纳定义如下：,当n=1时，perm(R)=(r)，其中r是集合R中唯⼀的元素； 当n1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，(rn)perm(Rn)构成。,37,2.1 递归的概念,例5 整数划分。21、问题 将正整数n表⽰成⼀系列正整数之和：n=n1+n2+nk， 其中n1n2nk1，k1。 正整数n的这种表⽰称为正整数n的划分。求正整数n的不 同划分个数。 例如正整数6有如下11种不同的划分： 6； 5+1； 4+2，4+1+1； 3+3，3+2+1，3+1+1+1；2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。,38,(2) q(n,m)=q(n,n),mn; 最⼤加数n1实际上不能⼤于n。因此，q(1,m)=1。,(1) q(n,1)=1,n1; 当最⼤加数n1不⼤于1时，任何正整数n只有⼀种划分形式， 即,(4) q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-。22、m,m),nm1; 正整数n的最⼤加数n1不⼤于m的划分由n1=m的划分和 n1n-1 的划分组成。,(3) q(n,n)=1+q(n,n-1); 正整数n的划分由n1=n的划分和n1n-1的划分组成。,2.1 递归的概念,例5 整数划分问题 前⾯的⼏个例⼦中，问题本⾝都具有⽐较明显的递归关系，因⽽容易⽤递归函数直接求解。 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加⼀个⾃变量：将最⼤加数n1不⼤于m的划分个数记作q(n,m)。可以建⽴q(n,m)的如下递归关系。,39,2.1 递归的概念,例5 整数划分问题 前⾯的⼏个例⼦中，问题本⾝都具有⽐较明显的递归关系，。23、因⽽容易⽤递归函数直接求解。 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加⼀个⾃变量：将最⼤加数n1不⼤于m的划分个数记作q(n,m)。可以建⽴q(n,m)的如下递归关系。,正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。,40,41,2.1 递归的概念,例6 Hanoi塔问题 设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有⼀叠共n个圆盘，这些圆盘⾃下⽽上，由⼤到⼩地叠在⼀起。各圆盘从⼩到⼤编号为1,2,n,现要求将塔座a上的这⼀叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则： 规则1：每次只能移动1个圆盘； 规则2：任何时刻都不允许将较⼤的圆盘压。24、在较⼩的圆盘之上； 规则3：在满⾜移动规则1和2的前提下，可将圆盘移⾄a,b,c中任⼀塔座上。,42,在问题规模较⼤时，较难找到⼀般的⽅法，因此我们尝试⽤递归技术来解决这个问题。,当n=1时，问题⽐较简单。此时，只要将编号为1的圆盘从塔座a直接移⾄塔座b上即可。 当n1时，需要利⽤塔座c作为辅助塔座。此时若能设法将n-1个较⼩的圆盘依照移动规则从塔座a移⾄塔座c，然后，将剩下的最⼤圆盘从塔座a移⾄塔座b，最后，再设法将n-1个较⼩的圆盘依照移动规则从塔座c移⾄塔座b。 由此可见，n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题，这⼜可以递归地⽤上述⽅法来做。由此可以设计出解Hanoi塔问题的。25、递归算法如下。,2.1 递归的概念,例6 Hanoi塔问题,public static void hanoi(int n, int a, int b, int c) if (n 0) hanoi(n-1, a, c, b);move(a,b); hanoi(n-1, c, b, a); ,思考题：如果塔的个数变为a,b,c,d四个，现要将n个圆盘从a全部移动到d，移动规则不变，求移动步数最⼩的⽅案。,43,递归⼩结,优点：结构清晰，可读性强，⽽且容易⽤数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很⼤⽅便。 缺点：递归算法的运⾏效率较低，⽆论是耗费的计算时间还是占⽤的存储空间都。26、⽐⾮递归算法要多。,44,递归⼩结,解决⽅法：在递归算法中消除递归调⽤，使其转化为⾮递归算法。 1.采⽤⼀个⽤户定义的栈来模拟系统的递归调⽤⼯作栈。该⽅法通⽤性强，但本质上还是递归，只不过⼈⼯做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。 2.⽤递推来实现递归函数。 3.通过Cooper变换、反演变换能将⼀些递归转化为尾递归，从⽽迭代求出结果。 后两种⽅法在时空复杂度上均有较⼤改善，但其适⽤范围有限。,45,分治法的适⽤条件,分治法所能解决的问题⼀般具有以下⼏个特征： 该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质 利⽤该问题分。27、解出的⼦问题的解可以合并为该问题的解； 该问题所分解出的各个⼦问题是相互独⽴的，即⼦问题之间不包含公共的⼦问题。,因为问题的计算复杂性⼀般是随着问题规模的增加⽽增加，因此⼤部分问题满⾜这个特征。,这条特征是应⽤分治法的前提，它也是⼤多数问题可以满⾜的，此特征反映了递归思想的应⽤,能否利⽤分治法完全取决于问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，⽽不具备第三条特征，则可以考虑贪⼼算法或动态规划。,这条特征涉及到分治法的效率，如果各⼦问题是不独⽴的，则分治法要做许多不必要的⼯作，重复地解公共的⼦问题，此时虽然也可⽤分治法，但⼀般⽤动态规划较好。,46,分治法的基本步骤,divide-and-co。28、nquer(P) if ( | P | = n0) adhoc(P); /解决⼩规模的问题 divide P into smaller subinstances P1,P2,.,Pk；/分解问题 for(i=1,i=k,i+) yi=divide-and-conquer(Pi); /递归的解各⼦问题 return merge(y1,.,yk); /将各⼦问题的解合并为原问题的解 ⼈们从⼤量实践中发现，在⽤分治法设计算法时，最好使⼦问题的规模⼤致相同。即将⼀个问题分成⼤⼩相等的k个⼦问题的处理⽅法是⾏之有效的。这种使⼦问题规模⼤致相等的做法是出⾃⼀种平衡(balancing)⼦问题的思想，它⼏。29、乎总是⽐⼦问题规模不等的做法要好。,47,分治法的复杂性分析,⼀个分治法将规模为n的问题分成k个规模为nm的⼦问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个⼦问题以及⽤merge将k个⼦问题的解合并为原问题的解需⽤f(n)个单位时间。⽤T(n)表⽰该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：,通过迭代法求得⽅程的解：,注意：递归⽅程及其解只给出n等于m的⽅幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)⾜够平滑，那么由n等于m的⽅幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从⽽当minmi+1时，T(mi)T(n。30、)T(mi+1)。,48,⼆分搜索技术,分析：如果n=1即只有⼀个元素，则只要⽐较这个元素和x就可以确定x是否在表中。因此这个问题满⾜分治法的第⼀个适⽤条件,分析：⽐较x和a的中间元素amid，若x=amid，则x在L中的位置就是mid；如果xai，同理我们只要在amid的后⾯查找x即可。⽆论是在前⾯还是后⾯查找x，其⽅法都和在a中查找x⼀样，只不过是查找的规模缩⼩了。这就说明了此问题满⾜分治法的第⼆个和第三个适⽤条件。,分析：很显然此问题分解出的⼦问题相互独⽴，即在ai的前⾯或后⾯查找x是独⽴的⼦问题，因此满⾜分治法的第四个适⽤条件。,给定已按升序排好序的n个元素a0:n-1，现要在这n个元。31、素中找出⼀特定元素x。 分析：,该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题;分解出的⼦问题的解可以合并为原问题的解； 分解出的各个⼦问题是相互独⽴的。,49,⼆分搜索技术,给定已按升序排好序的n个元素a0:n-1，现要在这n个元素中找出⼀特定元素x。,据此容易设计出⼆分搜索算法： public static int binarySearch(int a, int x, int n) / 在 a0amiddle) left = middle + 1; else right = middle - 1; return -1; / 未找到x ,算法复杂。32、度分析： 每执⾏⼀次算法的while循环， 待搜索数组的⼤⼩减少⼀半。因此，在最坏情况下，while循环被执⾏了O(logn) 次。循环体内运算需要O(1) 时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O(logn) 。,思考题：给定a，⽤⼆分法设计出求an的算法。,50,⼤整数的乘法,请设计⼀个有效的算法，可以进⾏两个n位⼤整数的乘法运算,⼩学的⽅法：O(n2) 效率太低 分治法:,a,b,c,d,复杂度分析T(n)=O(n2) 没有改进,X = Y = X = a 2n/2 + b Y = c 2n/2 + d XY = ac 2n + (ad+bc) 2n/2 + bd,51,⼤整。33、数的乘法,请设计⼀个有效的算法，可以进⾏两个n位⼤整数的乘法运算,⼩学的⽅法：O(n2) 效率太低 分治法:,XY = ac 2n + (ad+bc)2n/2 + bd 为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。 XY = ac 2n + (a-c)(b-d)+ac+bd) 2n/2 + bd XY = ac 2n + (a+c)(b+d)-ac-bd) 2n/2 + bd,复杂度分析 T(n)=O(nlog3) =O(n1.59)较⼤的改进,细节问题：两个XY的复杂度都是O(nlog3)，但考虑到a+c,b+d可能得到m+1位的结果，使问题的规模变⼤，故不选择第2种⽅案。,52,⼤整数的乘法。34、,请设计⼀个有效的算法，可以进⾏两个n位⼤整数的乘法运算,⼩学的⽅法：O(n2) 效率太低 分治法: O(n1.59) 较⼤的改进 更快的⽅法?,如果将⼤整数分成更多段，⽤更复杂的⽅式把它们组合起来，将有可能得到更优的算法。 最终的，这个思想导致了快速傅利叶变换(Fast Fourier Transform)的产⽣。该⽅法也可以看作是⼀个复杂的分治算法，对于⼤整数乘法，它能在O(nlogn)时间内解决。 是否能找到线性时间的算法？⽬前为⽌还没有结果。,53,Strassen矩阵乘法,A和B的乘积矩阵C中的元素Ci,j定义为:,若依此定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计算C的⼀个元素Cij，需要。35、做n次乘法和n-1次加法。因此，算出矩阵C的 个元素所需的计算时间为O(n3),传统⽅法：O(n3),54,Strassen矩阵乘法,使⽤与上例类似的技术，将矩阵A，B和C中每⼀矩阵都分块成4个⼤⼩相等的⼦矩阵。由此可将⽅程C=AB重写为：,传统⽅法：O(n3) 分治法:,由此可得：,复杂度分析 T(n)=O(n3) 没有改进,55,Strassen矩阵乘法,传统⽅法：O(n3) 分治法:,为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。,复杂度分析 T(n)=O(nlog7) =O(n2.81)较⼤的改进,56,Strassen矩阵乘法,传统⽅法：O(n3) 分治法: O(n2.81) 更快的⽅法?。36、,Hopcroft和Kerr已经证明(1971)，计算2个矩阵的乘积，7次乘法是必要的。因此，要想进⼀步改进矩阵乘法的时间复杂性，就不能再基于计算22矩阵的7次乘法这样的⽅法了。或许应当研究或矩阵的更好算法。 在Strassen之后⼜有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复杂性。⽬前最好的计算时间上界是 O(n2.376) 是否能找到O(n2)的算法？⽬前为⽌还没有结果。,57,棋盘覆盖,在⼀个2k2k 个⽅格组成的棋盘中，恰有⼀个⽅格与其他⽅格不同，称该⽅格为⼀特殊⽅格，且称该棋盘为⼀特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要⽤图⽰的4种不同形态的L型⾻牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊⽅格以外的所有⽅格，且任何。37、2个L型⾻牌不得重叠覆盖。,58,棋盘覆盖,当k0时，将2k2k棋盘分割为4个2k-12k-1 ⼦棋盘(a)所⽰。 特殊⽅格必位于4个较⼩⼦棋盘之⼀中，其余3个⼦棋盘中⽆特殊⽅格。为了将这3个⽆特殊⽅格的⼦棋盘转化为特殊棋盘，可以⽤⼀个L型⾻牌覆盖这3个较⼩棋盘的会合处，如 (b)所⽰，从⽽将原问题转化为4个较⼩规模的棋盘覆盖问题。递归地使⽤这种分割，直⾄棋盘简化为棋盘11。,59,棋盘覆盖,public void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) if (size = 1) return; int t = tile+, 。38、/ L型⾻牌号 s = size/2; / 分割棋盘 / 覆盖左上⾓⼦棋盘 if (dr = tc + s) / 特殊⽅格在此棋盘中 chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);else / 此棋盘中⽆特殊⽅格 / ⽤ t 号L型⾻牌覆盖左下⾓,boardtr + s - 1tc + s = t; / 覆盖其余⽅格 chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s,s); / 覆盖左下⾓⼦棋盘 if (dr = tr + s ,复杂度分析 T(n)=O(4k) 渐进意义下的最优算法,60,合并排序,基本思想：将待排序元素分成⼤⼩⼤致相同的2个⼦集合，分。39、别对2个⼦集合进⾏排序，最终将排好序的⼦集合合并成为所要求的排好序的集合。,public static void mergeSort(Comparable a,int left, int right) if (leftright) /⾄少有2个元素 int i=(left+right)/2; /取中点 mergeSort(a, left, i); mergeSort(a, i+1, right);merge(a, b, left, i, right); /合并到数组b copy(a, b, left, right); /复制回数组a ,复杂度分析 T(n)=O(nlogn) 渐进意义下的最。40、优算法,61,合并排序,算法mergeSort的递归过程可以消去。,62,合并排序,最坏时间复杂度：O(nlogn) 平均时间复杂度：O(nlogn) 辅助空间：O(n) 稳定性：稳定,思考题：给定有序表A1:n，修改合并排序算法，求出该有序表的逆序对数。,63,快速排序,在快速排序中，记录的⽐较和交换是从两端向中间 进⾏的，关键字较⼤的记录⼀次就能交换到后⾯单 元，关键字较⼩的记录⼀次就能交换到前⾯单元， 记录每次移动的距离较⼤，因⽽总的⽐较和移动次 数较少。,private static void qSort(int p, int r) if (pr) int q=partition(p,。41、r); /以ap为基准元素将ap:r划分成3段ap:q-1,aq和aq+1:r，使得ap:q-1中任何元素⼩于等于aq，aq+1:r中任何元素⼤于等于aq。下标q在划分过程中确定。 qSort (p,q-1); /对左半段排序 qSort (q+1,r); /对右半段排序 ,快速排序是对⽓泡排序的⼀种改进⽅法 它是由C.A.R. Hoare于1962年提出的,64,快速排序,private static int partition (int p, int r) int i = p, j = r + 1; Comparable x = ap; / 将= x的元素交换到左边区域 / 将 0); i。42、f (i = j) break; (a, i, j); ap = aj; aj = x; return j; ,初始序列,j-;,5, 7, 5, 2, 6, 8,i+;,5, 6, 5, 2, 7, 8,j-;,5, 2, 5, 6, 7,8,i+;,完成,5, 2, 5 6 7, 8,65,private static int randomizedPartition (int p, int r) int i = random(p,r); (a, i, p); returnpartition (p, r); ,快速排序,快速排序算法的性能取决于。43、划分的对称性。通过修改算法partition，可以设计出采⽤随机选择策略的快速排序算法。在快速排序算法的每⼀步中，当数组还没有被划分时，可以在ap:r中随机选出⼀个元素作为划分基准，这样可以使划分基准的选择是随机的，从⽽可以期望划分是较对称的。,最坏时间复杂度：O(n2) 平均时间复杂度：O(nlogn) 辅助空间：O(n)或O(logn) 稳定性：不稳定,66,线性时间选择,给定线性序集中n个元素和⼀个整数k，1kn，要求找出这n个元素中第k⼩的元素,private static Comparable randomizedSelect(int p,int r,int k) if (p=r) 。44、return ap; int i=randomizedpartition(p,r), j=i-p+1; if (k=j) return randomizedSelect(p,i,k); else returnrandomizedSelect(i+1,r,k-j); ,在最坏情况下，算法randomizedSelect需要O(n2)计算时间 但可以证明，算法randomizedSelect可以在O(n)平均时间内找出n个输⼊元素中的第k⼩元素。,67,线性时间选择,如果能在线性时间内找到⼀个划分基准，使得按这个基准所划分出的2个⼦数组的长度都⾄少为原数组长度的倍(01是某个正常数)，那么就可以。45、在最坏情况下⽤O(n)时间完成选择任务。,例如，若=9/10，算法递归调⽤所产⽣的⼦数组的长度⾄少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满⾜递归式T(n)T(9n/10)+O(n) 。由此可得T(n)=O(n)。,68,将n个输⼊元素划分成n/5个组，每组5个元素，只可能有⼀个组不是5个元素。⽤任意⼀种排序算法，将每组中的元素排好序，并取出每组的中位数，共n/5个。 递归调⽤select来找出这n/5个元素的中位数。如果n/5是偶数，就找它的2个中位数中较⼤的⼀个。以这个元素作为划分基准。,线性时间选择,设所有元素互不相同。在这种情况下，找出的基准x⾄少⽐3(n-5)/1。46、0个元素⼤，因为在每⼀组中有2个元素⼩于本组的中位数，⽽n/5个中位数中⼜有(n-5)/10个⼩于基准x。同理，基准x也⾄少⽐3(n-5)/10个元素⼩。⽽当n75时，3(n-5)/10n/4所以按此基准划分所得的2个⼦数组的长度都⾄少缩短1/4。,69,private staticComparable select (int p, int r, int k) if (r-p5) /⽤某个简单排序算法对数组ap:r排序; bubbleSort(p,r); return ap+k-1; /将ap+5*i⾄ap+5*i+4的第3⼩元素 /与ap+i交换位置; /找中位数的中位数，r-p-4即上⾯。47、所说的n-5 for ( int i = 0; i=(r-p-4)/5; i+ ) int s=p+5*i, t=s+4; for (int j=0;j3;j+) bubble(s,t-j); (a, p+i, s+2);Comparable x = select(p, p+(r-p-4)/5, (r-p+6)/10); int i=partition(p,r,x), j=i-p+1; if (k=j) return select(p,i,k); else returnselect(i+1,r,k-j); ,复杂度分析 T(n)=O(n),上述算法将每⼀组的⼤⼩定为5。48、，并选取75作为是否作递归调⽤的分界点。这2点保证了T(n)的递归式中2个⾃变量之和n/5+3n/4=19n/20=n，01。这是使T(n)=O(n)的关键之处。当然，除了5和75之外，还有其他选择。,70,最接近点对问题,给定平⾯上n个点的集合S，找其中的⼀对点，使得在n个点组成的所有点对中，该点对间的距离最⼩。,71,最接近点对问题,如果S的最接近点对是p3,q3，即|p3-q3|d，则p3和q3两者与m的距离不超过d，即p3(m-d,m，q3(m,m+d。 由于在S1中，每个长度为d的半闭区间⾄多包含⼀个点(否则必有两点距离⼩于d)，并且m是S1和S2的分割点，因此(m-d,m中⾄多包含。49、S中的⼀个点。由图可以看出，如果(m-d,m中有S中的点，则此点就是S1中最⼤点。 因此，我们⽤线性时间就能找到区间(m-d,m和(m,m+d中所有点，即p3和q3。从⽽我们⽤线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。,能否在线性时间内找到p3,q3？,72,最接近点对问题,下⾯来考虑⼆维的情形。,选取⼀垂直线l:x=m来作为分割直线。其中m为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S1和S2。 递归地在S1和S2上找出其最⼩距离d1和d2，并设d=mind1,d2，S中的最接近点对或者是d，或者是某个p,q，其中pP1且qP2。 能否在线性时间内找到p,q？,73,最接近点对问题,考虑。50、P1中任意⼀点p，它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有distance(p，q)d。满⾜这个条件的P2中的点⼀定落在⼀个d2d的矩形R中 由d的意义可知，P2中任何2个S中的点的距离都不⼩于d。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。 因此，在分治法的合并步骤中最多只需要检查6n/2=3n个候选者,能否在线性时间内找到p3,q3？,证明:将矩形R的长为2d的边3等分，将它的长为d的边2等分，由此导出6个(d/2)(2d/3)的矩形。若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽舍原理易知⾄少有⼀个(d/2)(2d/3)的⼩矩形中有2个以上S中的点。设u，v是位于同⼀⼩矩形中的2个点，则 d。51、istance(u,v)d。这与d的意义相⽭盾。,74,为了确切地知道要检查哪6个点，可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。由于能与p点⼀起构成最接近点对候选者的S2中点⼀定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离⼩于d。由上⾯的分析可知，这种投影点最多只有6个。 因此，若将P1和P2中所有S中点按其y坐标排好序，则对P1中所有点，对排好序的点列作⼀次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者。对P1中每⼀点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。,最接近点对问题,75,最接近点对问题,public staticdouble cpair2(S) n=|S|; if (n。52、 m 2. d1=cpair2(S1); d2=cpair2(S2); 3. dm=min(d1,d2);,4. 设P1是S1中距垂直分割线l的距离在dm之内的所有点组成的集合；P2是S2中距分割线l的距离在dm之内所有点组成的集合； 将P1和P2中点依其y坐标值排序； 并设X和Y是相应的已排好序的点列； 5. 通过扫描X以及对于X中每个点检查Y中与其距离在dm之内的所有点(最多6个)可以完成合并； 当X中的扫描指针逐次向上移动时，Y中的扫描指针可在宽为2dm的区间内移动； 设dl是按这种扫描⽅式找到的点对间的最⼩距离； 6. d=min(dm,dl); return d; ,复杂度分析 T。53、(n)=O(nlogn),76,设计⼀个满⾜以下要求的⽐赛⽇程表： (1)每个选⼿必须与其他n-1个选⼿各赛⼀次； (2)每个选⼿⼀天只能赛⼀次； (3)循环赛⼀共进⾏n-1天。,按分治策略，将所有的选⼿分为两半，n个选⼿的⽐赛⽇程表就可以通过为n/2个选⼿设计的⽐赛⽇程表来决定。递归地⽤对选⼿进⾏分割，直到只剩下2个选⼿时，⽐赛⽇程表的制定就变得很简单。这时只要让这2个选⼿进⾏⽐赛就可以了。,77,循环赛⽇程表,设计⼀个满⾜以下要求的⽐赛⽇程表： (1)每个选⼿必须与其他n-1个选⼿各赛⼀次； (2)每个选⼿⼀天只能赛⼀次； (3)循环赛⼀共进⾏n-1天。,按分治策略，将所有的选⼿分为两半，。54、n个选⼿的⽐赛⽇程表就可以通过为n/2个选⼿设计的⽐赛⽇程表来决定。递归地⽤对选⼿进⾏分割，直到只剩下2个选⼿时，⽐赛⽇程表的制定就变得很简单。这时只要让这2个选⼿进⾏⽐赛就可以了。,78,第3章 动态规划,79,动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若⼲个⼦问题,80,算法总体思想,动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若⼲个⼦问题,81,但是经分解得到的⼦问题往往不是互相独⽴的。不同⼦问题的数⽬常常只有多项式量级。在⽤分治法求解时，有些⼦问题被重复计算了许多次。,算法总体思想,82,如果能够保存已解决的⼦问题的答案，⽽在需要时再找出已求得的答案，就可。55、以避免⼤量重复计算，从⽽得到多项式时间算法。,算法总体思想,T(n),Those who cannot remember the past are doomed torepeat it. -George Santayana, The life of Reason, Book I: Introduction and Reason in Common Sense (1905),83,动态规划基本步骤,找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 递归地定义最优值。 以⾃底向上的⽅式计算出最优值。 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。,84,完全加括号的矩阵连乘积,(1)单个矩阵是完全加括号的； (2。56、)矩阵连乘积 是完全加括号的，则 可 表⽰为2个完全加括号的矩阵连乘积 和 的乘积并加括号，即,16000, 10500, 36000, 87500,34500,完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： 设有四个矩阵 ，它们的维数分别是： 总共有五中完全加括号的⽅式,85,矩阵连乘问题,给定n个矩阵 ， 其中 与 是可乘的， 。考察这n个矩阵的连乘积 由于矩阵乘法满⾜结合律，所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以⽤加括号的⽅式来确定。 若⼀个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调⽤2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积,86,矩阵。57、连乘问题,给定n个矩阵A1,A2,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2 ,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。,穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每⼀种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出⼀种数乘次数最少的计算次序。,算法复杂度分析： 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。 由于每种加括号⽅式都可以分解为两个⼦矩阵的加括号问题：()(Ak+1An)可以得到关于P(n)的递推式如下：,87,矩阵连乘问题,穷举法 动态规划,将矩阵连乘积 简记为Ai:j ，这⾥ij,考察计算Ai:j的最优计算次序。设这个计算。58、次序在矩阵 Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，ikj，则其相应完全 加括号⽅式为,计算量：Ai:k的计算量加上Ak+1:j的计算量，再加上Ai:k和Ak+1:j相乘的计算量,88,分析最优解的结构,特征：计算Ai:j的最优次序所包含的计算矩阵⼦链 Ai:k和Ak+1:j的次序也是最优的。 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其⼦问题的最优解。这种性质称为最优⼦结构性质。问题的最优⼦结构性质是该问题可⽤动态规划算法求解的显著特征。,89,建⽴递归关系,设计算Ai:j，1ijn，所需要的最少数乘次数mi,j，则原问题的最优值为m1,n 当i=j时，Ai:j=Ai，因此，mi,i=0，i=1,2,n 。59、当ij时， 可以递归地定义mi,j为：,这⾥ 的维数为,的位置只有 种可能,90,计算最优值,对于1ijn不同的有序对(i,j)对应于不同的⼦问题。因此，不同⼦问题的个数最多只有 由此可见，在递归计算时，许多⼦问题被重复计算多次。这也是该问题可⽤动态规划算法求解的⼜⼀显著特征。 ⽤动态规划算法解此问题，可依据其递归式以⾃底向上的⽅式进⾏计算。在计算过程中，保存已解决的⼦问题答案。每个⼦问题只计算⼀次，⽽在后⾯需要时只要简单查⼀下，从⽽避免⼤量的重复计算，最终得到多项式时间的算法,91,⽤动态规划法求最优解,publicstatic void matrixChain(int p, int m,。60、 int s) int n=-1; for (int i = 1; i = n; i+) mii = 0; for (int r = 2; r = n; r+) for (int i = 1; i = n - r+1; i+) int j=i+r-1; mij= mi+1j+ pi-1*pi*pj; sij = i; for (int k = i+1; k j; k+) int t = mik + mk+1j + pi-1*pk*pj; if (t mij) mij = t; sij = k; ,算法复杂度分析：算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r，i和k。61、的3重循环。循环体内的计算量为O(1)，⽽3重循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间上界为O(n3)。算法所占⽤的空间显然为O(n2)。,92,动态规划算法的基本要素,⼀、最优⼦结构,矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其⼦问题的最优解。这种性质称为最优⼦结构性质。 在分析问题的最优⼦结构性质时，所⽤的⽅法具有普遍性：⾸先假设由问题的最优解导出的⼦问题的解不是最优的，然后再设法说明在这个假设下可构造出⽐原问题最优解更好的解，从⽽导致⽭盾。 利⽤问题的最优⼦结构性质，以⾃底向上的⽅式递归地从⼦问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。最优⼦结构是问题能⽤动态规划算法求解的前提。,注意：同⼀个问。62、题可以有多种⽅式刻划它的最优⼦结构，有些表⽰⽅法的求解速度更快(空间占⽤⼩，问题的维度低),93,⼆、重叠⼦问题,递归算法求解问题时，每次产⽣的⼦问题并不总是新问题，有些⼦问题被反复计算多次。这种性质称为⼦问题的重叠性质。 动态规划算法，对每⼀个⼦问题只解⼀次，⽽后将其解保存在⼀个表格中，当再次需要解此⼦问题时，只是简单地⽤常数时间查看⼀下结果。 通常不同的⼦问题个数随问题的⼤⼩呈多项式增长。因此⽤动态规划算法只需要多项式时间，从⽽获得较⾼的解题效率。,94,三、备忘录⽅法,备忘录⽅法的控制结构与直接递归⽅法的控制结构相同，区别在于备忘录⽅法为每个解过的⼦问题建⽴了备忘录以备需要时查看，避免了。63、相同⼦问题的重复求解。,m0 private static int lookupChain(int i, int j) if (mij 0) return mij; if (i = j) return 0; int u =lookupChain(i+1,j) + pi-1*pi*pj; sij = i; for (int k = i+1; k j; k+) int t = lookupChain(i,k) + lookupChain(k+1,j) + pi-1*pk*pj; if (tu) u = t; sij = k; mij = u; return u; ,95,最长公共⼦序列,若给定。64、序列X=x1,x2,xm，则另⼀序列Z=z1,z2,zk，是X的⼦序列是指存在⼀个严格递增下标序列i1,i2,ik使得对于所有j=1,2,k有：zj=xij。例如，序列Z=B，C，D，B是序列X=A，B，C，B，D，A，B的⼦序列，相应的递增下标序列为2，3，5，7。 给定2个序列X和Y，当另⼀序列Z既是X的⼦序列⼜是Y的⼦序列时，称Z是序列X和Y的公共⼦序列。 给定2个序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，找出X和Y的最长公共⼦序列。,96,最长公共⼦序列的结构,设序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn的最长公共⼦序列为Z=z1,z2,zk ，则 (1)若xm=yn，则zk。65、=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共⼦序列。 (2)若xmyn且zkxm，则Z是xm-1和Y的最长公共⼦序列。 (3)若xmyn且zkyn，则Z是X和yn-1的最长公共⼦序列。,由此可见，2个序列的最长公共⼦序列包含了这2个序列的前缀的最长公共⼦序列。因此，最长公共⼦序列问题具有最优⼦结构性质。,97,⼦问题的递归结构,由最长公共⼦序列问题的最优⼦结构性质建⽴⼦问题最优值的递归关系。⽤cij记录序列和的最长公共⼦序列的长度。其中， Xi=x1,x2,xi；Yj=y1,y2,yj。当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共⼦序列。故此时Cij=0。其他情况下，由最优⼦结构性质可建⽴递归关系如下。

2023年6月20日发(作者：)

循环赛⽇程表⾮递归Java_王晓东《算法设计与分析》课件.ppt《王晓东《算法设计与分析》课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《王晓东《算法设计与分析》课件.ppt(356页珍藏版)》请在⼈⼈⽂库⽹上搜索。1、1,中国计算机学会“21世纪⼤学本科计算机专业系列教材”算法设计与分析,王晓东编著,2,主要内容介绍,第1章算法引论 第2章递归与分治策略 第3章动态规划 第4章贪⼼算法 第5章回溯法 第6章分⽀限界法,3,主要内容介绍(续),第7章概率算法 第8章NP完全性理论 第9章近似算法 第10章算法优化策略,4,第1章 算法引论,1.1算法与程序 1.2表达算法的抽象机制 1.3描述算法 1.4算法复杂性分析,本章主要知识点：,5,1.1算法与程序,输 ⼊：有零个或多个外部量作为算法的输⼊。 输 出：算法产⽣⾄少⼀个量作为输出。 确定性：组成算法的每条指令清晰、⽆歧义。 有限性：算法中每条指令的执⾏。2、次数有限，执⾏每条指令的时间也有限。,是算法⽤某种程序设计语⾔的具体实现。 程序可以不满⾜算法的性质(4)即有限性。,是满⾜下述性质的指令序列。,算法：,程序：,6,1.从机器语⾔到⾼级语⾔的抽象,1.2表达算法的抽象机制,⾼级程序设计语⾔的主要好处是：,(4)把繁杂琐碎的事务交给编译程序，所以⾃动化程度⾼，开发周期短，程序员可以集中时间和精⼒从事更重要的创造性劳动，提⾼程序质量。,(1)⾼级语⾔更接近算法语⾔，易学、易掌握，⼀般⼯程技术⼈员只需 要⼏周时间的培训就可以胜任程序员的⼯作；,(2)⾼级语⾔为程序员提供了结构化程序设计的环境和⼯具，使得设计出来的程序可读性好，可维护性强，可靠性⾼；。3、,(3)⾼级语⾔不依赖于机器语⾔，与具体的计算机硬件关系不⼤，因⽽所写出来的程序可植性好、重⽤率⾼；,7,2.抽象数据类型,1.2表达算法的抽象机制,抽象数据类型是算法的⼀个数据模型连同定义在该模型上 并作为算法构件的⼀组运算。,抽象数据类型带给算法设计的好处有：,(1)算法顶层设计与底层实现分离； (2)算法设计与数据结构设计隔开，允许数据结构⾃由选择； (3)数据模型和该模型上的运算统⼀在ADT中，便于空间和时间耗费的折衷； (4)⽤抽象数据类型表述的算法具有很好的可维护性； (5)算法⾃然呈现模块化； (6)为⾃顶向下逐步求精和模块化提供有效途径和⼯具； (7)算法结构清晰，层次分明，便。4、于算法正确性的证明和复杂性的分析。,8,在本书中，采⽤Java语⾔描述算法。 程序结构,1.3描述算法,以下，对Java语⾔的若⼲重要特性作简要概述。,(1)Java程序的两种类型：应⽤程序和applet 区别：应⽤程序的主⽅法为main，其可在命令⾏中⽤命令 语句 java应⽤程序名 来执⾏； applet的主⽅法为init，其必须嵌⼊HTML⽂件，由 Web浏览器或applet阅读器来执⾏。,(2)包：java程序和类可以包(packages)的形式组织管理。,(3)import语句：在java程序中可⽤import语句加载所需的包。 例如，import .*;。5、语句加载包。,9,1.3描述算法,数据类型,Java对两种数据类型的不同处理⽅式：,s = new String(“Welcome”); Strings = new String(“Welcome”);,10,1.3描述算法,表格1-1 Java基本数据类型,11,1.3描述算法,3.⽅法,在Java中，执⾏特定任务的函数或过程统称为⽅法(methods) 。 例如，java的Math类给出的常见数学计算的⽅法如下表所⽰：,12,1.3描述算法,3.⽅法,计算表达式 值的⾃定义⽅法ab描述如下：,public static int ab(int a, int b) 。6、return (a+b+(a-b)/2; ,(1)⽅法参数：Java中所有⽅法的参数均为值参数。上述⽅法ab中，a和b是形式参数，在调⽤⽅法时通过实际参数赋值。,(2)⽅法重载：Java允许⽅法重载，即允许定义有不同签名的同名⽅法。 上述⽅法ab可重载为：,public static doubleab(double a, double b) return (a+b+(a-b)/2.0; ,13,1.3描述算法,4.异常,Java的异常提供了⼀种处理错误的⽅法。当程序发现⼀个错误，就引发⼀个异常，以便在合适地⽅捕获异常并进⾏处理。,通常⽤try块来定义异常处理。。7、每个异常处理由⼀个catch语句组成。,public static void main(String args) try f ( ); catch (exception1) 异常处理; catch(exception2) 异常处理; finally finally块; ,14,1.3描述算法,的类,(4)访问修饰,Java的类⼀般由4个部分组成：,(1)类名,(2)数据成员,(3)⽅法,15,1.3描述算法,6.通⽤⽅法,下⾯的⽅法swap⽤于交换⼀维整型数组a的位置i和位置j处的值。,public static void swap(int a, inti, int j) in。8、t temp = ai; ai = aj; aj = temp; ,public static void swap(object a, int i, int j) object temp = ai; ai = aj; aj = temp; ,该⽅法只适⽤于 整型数组,该⽅法具有通⽤性，适⽤于Object类型及其所有⼦类,以上⽅法修改如下：,16,1.3描述算法,6.通⽤⽅法,(1)Computable界⾯,public static Computable sum(Computable a, int n) if ( = 0) return null; Computable sum。9、 = (Computable) (); for (int i = 0; i n; i+) ent(ai); return sum; ,利⽤此界⾯使 ⽅法sum通⽤化,17,1.3描述算法,6.通⽤⽅法,(2)able 界⾯,Java的Comparable 界⾯中惟⼀的⽅法头compareTo⽤于⽐较 2个元素的⼤⼩。例如o(y) 返回x-y的符号，当xy时返 回正数。,(3)Operable 界⾯,有些通⽤⽅法同时需要Computable界⾯和Comparable 界⾯ 的⽀持。为此可定义Oper。10、able界⾯如下:,public interface Operable extends Computable, Comparable ,(4)⾃定义包装类,由于Java的包装类如Integer等已定义为final型，因此⽆法 定义其⼦类，作进⼀步扩充。为了需要可⾃定义包装类。,18,1.3描述算法,7.垃圾收集 8.递归,Java的new运算⽤于分配所需的内存空间。 例如， int a = new int500000; 分配2000000字节空间 给整型数组a。频繁⽤new分配空间可能会耗尽内存。Java的垃 圾收集器会适时扫描内存，回收不⽤的空间(垃圾)给new重新 分配。,Java允许⽅法。11、调⽤其⾃⾝。这类⽅法称为递归⽅法。,public static int sum(int a, int n) if (n=0) return 0; else return an-1+sum(a,n-1); ,计算⼀维整型数组前n个元素之和的递归⽅法,19,1.4算法复杂性分析,算法复杂性是算法运⾏所需要的计算机资源的量， 需要时间资源的量称为时间复杂性，需要的空间资源的 量称为空间复杂性。这个量应该只依赖于算法要解的问 题的规模、算法的输⼊和算法本⾝的函数。如果分别⽤ N、I和A表⽰算法要解问题的规模、算法的输⼊和算法 本⾝，⽽且⽤C表⽰复杂性，那么，应该有C=F(N,I,A)。 ⼀般把时间复杂。12、性和空间复杂性分开，并分别⽤T和S来 表⽰，则有： T=T(N,I)和S=S(N,I) 。 (通常，让A隐含在复杂性函数名当中),20,1.4算法复杂性分析,最坏情况下的时间复杂性：,最好情况下的时间复杂性：,平均情况下的时间复杂性：,其中DN是规模为N的合法输⼊的集合；I*是DN中使T(N, I*) 达到Tmax(N)的合法输⼊； 是中使T(N, )达到Tmin(N)的合法 输⼊；⽽P(I)是在算法的应⽤中出现输⼊I的概率。,21,1.4算法复杂性分析,算法复杂性在渐近意义下的阶：,渐近意义下的记号：O、o 设f(N)和g(N)是定义在正数集上的正函数。,O的定义：如果存在正的常数C和⾃然数。13、N0，使得当NN0时有f(N)Cg(N)，则称函数f(N)当N充分⼤时上有界，且g(N)是它的⼀个上界，记为f(N)=O(g(N)。即f(N)的阶不⾼于g(N)的阶。,根据O的定义，容易证明它有如下运算规则： (1)O(f)+O(g)=O(max(f,g)； (2)O(f)+O(g)=O(f+g)；(3)O(f)O(g)=O(fg)； (4)如果g(N)=O(f(N)，则O(f)+O(g)=O(f)； (5)O(Cf(N)=O(f(N)，其中C是⼀个正的常数； (6)f=O(f)。,22,1.4算法复杂性分析,的定义：如果存在正的常数C和⾃然数N0，使得当NN0时 有f(N)Cg(N)，则称。14、函数f(N)当N充分⼤时下有界，且g(N)是它 的⼀个下界，记为f(N)=(g(N)。即f(N)的阶不低于g(N)的阶。,的定义：定义f(N)= (g(N)当且仅当f(N)=O(g(N)且 f(N)= (g(N)。此时称f(N)与g(N)同阶。,o的定义：对于任意给定的0，都存在正整数N0，使得 当NN0时有f(N)/Cg(N),则称函数f(N)当N充分⼤时的阶⽐ g(N)低，记为f(N)=o(g(N)。 例如，4NlogN+7=o(3N2+4NlogN+7)。,23,第2章 递归与分治策略,24,将要求解的较⼤规模的问题分割成k个更⼩规模的⼦问题。,算法总体思想,n,T(n/2),T(n/2。15、),T(n/2),T(n/2),T(n),=,对这k个⼦问题分别求解。如果⼦问题的规模仍然不够⼩，则再划分为k个⼦问题，如此递归的进⾏下去，直到问题规模⾜够⼩，很容易求出其解为⽌。,25,算法总体思想,对这k个⼦问题分别求解。如果⼦问题的规模仍然不够⼩，则再划分为k个⼦问题，如此递归的进⾏下去，直到问题规模⾜够⼩，很容易求出其解为⽌。,n,T(n),=,将求出的⼩规模的问题的解合并为⼀个更⼤规模的问题的解，⾃底向上逐步求出原来问题的解。,26,算法总体思想,将求出的⼩规模的问题的解合并为⼀个更⼤规模的问题的解，⾃底向上逐步求出原来问题的解。,n,T(n),=,27,算法总体思想,将求出的⼩规模。16、的问题的解合并为⼀个更⼤规模的问题的解，⾃底向上逐步求出原来问题的解。,分治法的设计思想是，将⼀个难以直接解决的⼤问题， 分割成⼀些规模较⼩的相同问题，以便各个击破， 分⽽治之。 凡治众如治寡，分数是也。 -孙⼦兵法,28,2.1 递归的概念,直接或间接地调⽤⾃⾝的算法称为递归算法。⽤函数⾃⾝给出定义的函数称为递归函数。 由分治法产⽣的⼦问题往往是原问题的较⼩模式，这就为使⽤递归技术提供了⽅便。在这种情况下，反复应⽤分治⼿段，可以使⼦问题与原问题类型⼀致⽽其规模却不断缩⼩，最终使⼦问题缩⼩到很容易直接求出其解。这⾃然导致递归过程的产⽣。 分治与递归像⼀对孪⽣兄弟，经常同时应⽤在算法设计之中，并。17、由此产⽣许多⾼效算法。,下⾯来看⼏个实例。,29,2.1 递归的概念,例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为：,边界条件,递归⽅程,边界条件与递归⽅程是递归函数的⼆个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。,30,2.1 递归的概念,例2Fibonacci数列 ⽆穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，被称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：,边界条件,递归⽅程,第n个Fibonacci数可递归地计算如下： public static int fibonacci(int n) if (n = 1) return 1; return fibona。18、cci(n-1)+fibonacci(n-2); ,31,32,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数 当⼀个函数及它的⼀个变量是由函数⾃⾝定义时，称这个函数是双递归函数。 Ackerman函数A(n，m)定义如下：,33,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数 前2例中的函数都可以找到相应的⾮递归⽅式定义：,但本例中的Ackerman函数却⽆法找到⾮递归的定义。,34,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数 A(n，m)的⾃变量m的每⼀个值都定义了⼀个单变量函数： M=0时，A(n,0)=n+2 M=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2。19、，和A(1,1)=2故A(n,1)=2*n M=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2n 。M=3时，类似的可以推出 M=4时，A(n,4)的增长速度⾮常快，以⾄于没有适当的数学式⼦来表⽰这⼀函数。,35,2.1 递归的概念,例3Ackerman函数 定义单变量的Ackerman函数A(n)为，A(n)=A(n，n)。 定义其拟逆函数(n)为：(n)=minkA(k)n。即(n)是使nA(k)成⽴的最⼩的k值。 (n)在复杂度分析中常遇到。对于通常所见到的正整数n，有(n)4。但在理。20、论上(n)没有上界，随着n的增加，它以难以想象的慢速度趋向正⽆穷⼤。,36,2.1 递归的概念,例4 排列问题 设计⼀个递归算法⽣成n个元素r1,r2,rn的全排列。,设R=r1,r2,rn是要进⾏排列的n个元素，Ri=R-ri。 集合X中元素的全排列记为perm(X)。 (ri)perm(X)表⽰在全排列perm(X)的每⼀个排列前加上前缀得到的排列。R的全排列可归纳定义如下：,当n=1时，perm(R)=(r)，其中r是集合R中唯⼀的元素； 当n1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，(rn)perm(Rn)构成。,37,2.1 递归的概念,例5 整数划分。21、问题 将正整数n表⽰成⼀系列正整数之和：n=n1+n2+nk， 其中n1n2nk1，k1。 正整数n的这种表⽰称为正整数n的划分。求正整数n的不 同划分个数。 例如正整数6有如下11种不同的划分： 6； 5+1； 4+2，4+1+1； 3+3，3+2+1，3+1+1+1；2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。,38,(2) q(n,m)=q(n,n),mn; 最⼤加数n1实际上不能⼤于n。因此，q(1,m)=1。,(1) q(n,1)=1,n1; 当最⼤加数n1不⼤于1时，任何正整数n只有⼀种划分形式， 即,(4) q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-。22、m,m),nm1; 正整数n的最⼤加数n1不⼤于m的划分由n1=m的划分和 n1n-1 的划分组成。,(3) q(n,n)=1+q(n,n-1); 正整数n的划分由n1=n的划分和n1n-1的划分组成。,2.1 递归的概念,例5 整数划分问题 前⾯的⼏个例⼦中，问题本⾝都具有⽐较明显的递归关系，因⽽容易⽤递归函数直接求解。 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加⼀个⾃变量：将最⼤加数n1不⼤于m的划分个数记作q(n,m)。可以建⽴q(n,m)的如下递归关系。,39,2.1 递归的概念,例5 整数划分问题 前⾯的⼏个例⼦中，问题本⾝都具有⽐较明显的递归关系，。23、因⽽容易⽤递归函数直接求解。 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加⼀个⾃变量：将最⼤加数n1不⼤于m的划分个数记作q(n,m)。可以建⽴q(n,m)的如下递归关系。,正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。,40,41,2.1 递归的概念,例6 Hanoi塔问题 设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有⼀叠共n个圆盘，这些圆盘⾃下⽽上，由⼤到⼩地叠在⼀起。各圆盘从⼩到⼤编号为1,2,n,现要求将塔座a上的这⼀叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则： 规则1：每次只能移动1个圆盘； 规则2：任何时刻都不允许将较⼤的圆盘压。24、在较⼩的圆盘之上； 规则3：在满⾜移动规则1和2的前提下，可将圆盘移⾄a,b,c中任⼀塔座上。,42,在问题规模较⼤时，较难找到⼀般的⽅法，因此我们尝试⽤递归技术来解决这个问题。,当n=1时，问题⽐较简单。此时，只要将编号为1的圆盘从塔座a直接移⾄塔座b上即可。 当n1时，需要利⽤塔座c作为辅助塔座。此时若能设法将n-1个较⼩的圆盘依照移动规则从塔座a移⾄塔座c，然后，将剩下的最⼤圆盘从塔座a移⾄塔座b，最后，再设法将n-1个较⼩的圆盘依照移动规则从塔座c移⾄塔座b。 由此可见，n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题，这⼜可以递归地⽤上述⽅法来做。由此可以设计出解Hanoi塔问题的。25、递归算法如下。,2.1 递归的概念,例6 Hanoi塔问题,public static void hanoi(int n, int a, int b, int c) if (n 0) hanoi(n-1, a, c, b);move(a,b); hanoi(n-1, c, b, a); ,思考题：如果塔的个数变为a,b,c,d四个，现要将n个圆盘从a全部移动到d，移动规则不变，求移动步数最⼩的⽅案。,43,递归⼩结,优点：结构清晰，可读性强，⽽且容易⽤数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很⼤⽅便。 缺点：递归算法的运⾏效率较低，⽆论是耗费的计算时间还是占⽤的存储空间都。26、⽐⾮递归算法要多。,44,递归⼩结,解决⽅法：在递归算法中消除递归调⽤，使其转化为⾮递归算法。 1.采⽤⼀个⽤户定义的栈来模拟系统的递归调⽤⼯作栈。该⽅法通⽤性强，但本质上还是递归，只不过⼈⼯做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。 2.⽤递推来实现递归函数。 3.通过Cooper变换、反演变换能将⼀些递归转化为尾递归，从⽽迭代求出结果。 后两种⽅法在时空复杂度上均有较⼤改善，但其适⽤范围有限。,45,分治法的适⽤条件,分治法所能解决的问题⼀般具有以下⼏个特征： 该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质 利⽤该问题分。27、解出的⼦问题的解可以合并为该问题的解； 该问题所分解出的各个⼦问题是相互独⽴的，即⼦问题之间不包含公共的⼦问题。,因为问题的计算复杂性⼀般是随着问题规模的增加⽽增加，因此⼤部分问题满⾜这个特征。,这条特征是应⽤分治法的前提，它也是⼤多数问题可以满⾜的，此特征反映了递归思想的应⽤,能否利⽤分治法完全取决于问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，⽽不具备第三条特征，则可以考虑贪⼼算法或动态规划。,这条特征涉及到分治法的效率，如果各⼦问题是不独⽴的，则分治法要做许多不必要的⼯作，重复地解公共的⼦问题，此时虽然也可⽤分治法，但⼀般⽤动态规划较好。,46,分治法的基本步骤,divide-and-co。28、nquer(P) if ( | P | = n0) adhoc(P); /解决⼩规模的问题 divide P into smaller subinstances P1,P2,.,Pk；/分解问题 for(i=1,i=k,i+) yi=divide-and-conquer(Pi); /递归的解各⼦问题 return merge(y1,.,yk); /将各⼦问题的解合并为原问题的解 ⼈们从⼤量实践中发现，在⽤分治法设计算法时，最好使⼦问题的规模⼤致相同。即将⼀个问题分成⼤⼩相等的k个⼦问题的处理⽅法是⾏之有效的。这种使⼦问题规模⼤致相等的做法是出⾃⼀种平衡(balancing)⼦问题的思想，它⼏。29、乎总是⽐⼦问题规模不等的做法要好。,47,分治法的复杂性分析,⼀个分治法将规模为n的问题分成k个规模为nm的⼦问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个⼦问题以及⽤merge将k个⼦问题的解合并为原问题的解需⽤f(n)个单位时间。⽤T(n)表⽰该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：,通过迭代法求得⽅程的解：,注意：递归⽅程及其解只给出n等于m的⽅幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)⾜够平滑，那么由n等于m的⽅幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从⽽当minmi+1时，T(mi)T(n。30、)T(mi+1)。,48,⼆分搜索技术,分析：如果n=1即只有⼀个元素，则只要⽐较这个元素和x就可以确定x是否在表中。因此这个问题满⾜分治法的第⼀个适⽤条件,分析：⽐较x和a的中间元素amid，若x=amid，则x在L中的位置就是mid；如果xai，同理我们只要在amid的后⾯查找x即可。⽆论是在前⾯还是后⾯查找x，其⽅法都和在a中查找x⼀样，只不过是查找的规模缩⼩了。这就说明了此问题满⾜分治法的第⼆个和第三个适⽤条件。,分析：很显然此问题分解出的⼦问题相互独⽴，即在ai的前⾯或后⾯查找x是独⽴的⼦问题，因此满⾜分治法的第四个适⽤条件。,给定已按升序排好序的n个元素a0:n-1，现要在这n个元。31、素中找出⼀特定元素x。 分析：,该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题;分解出的⼦问题的解可以合并为原问题的解； 分解出的各个⼦问题是相互独⽴的。,49,⼆分搜索技术,给定已按升序排好序的n个元素a0:n-1，现要在这n个元素中找出⼀特定元素x。,据此容易设计出⼆分搜索算法： public static int binarySearch(int a, int x, int n) / 在 a0amiddle) left = middle + 1; else right = middle - 1; return -1; / 未找到x ,算法复杂。32、度分析： 每执⾏⼀次算法的while循环， 待搜索数组的⼤⼩减少⼀半。因此，在最坏情况下，while循环被执⾏了O(logn) 次。循环体内运算需要O(1) 时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O(logn) 。,思考题：给定a，⽤⼆分法设计出求an的算法。,50,⼤整数的乘法,请设计⼀个有效的算法，可以进⾏两个n位⼤整数的乘法运算,⼩学的⽅法：O(n2) 效率太低 分治法:,a,b,c,d,复杂度分析T(n)=O(n2) 没有改进,X = Y = X = a 2n/2 + b Y = c 2n/2 + d XY = ac 2n + (ad+bc) 2n/2 + bd,51,⼤整。33、数的乘法,请设计⼀个有效的算法，可以进⾏两个n位⼤整数的乘法运算,⼩学的⽅法：O(n2) 效率太低 分治法:,XY = ac 2n + (ad+bc)2n/2 + bd 为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。 XY = ac 2n + (a-c)(b-d)+ac+bd) 2n/2 + bd XY = ac 2n + (a+c)(b+d)-ac-bd) 2n/2 + bd,复杂度分析 T(n)=O(nlog3) =O(n1.59)较⼤的改进,细节问题：两个XY的复杂度都是O(nlog3)，但考虑到a+c,b+d可能得到m+1位的结果，使问题的规模变⼤，故不选择第2种⽅案。,52,⼤整数的乘法。34、,请设计⼀个有效的算法，可以进⾏两个n位⼤整数的乘法运算,⼩学的⽅法：O(n2) 效率太低 分治法: O(n1.59) 较⼤的改进 更快的⽅法?,如果将⼤整数分成更多段，⽤更复杂的⽅式把它们组合起来，将有可能得到更优的算法。 最终的，这个思想导致了快速傅利叶变换(Fast Fourier Transform)的产⽣。该⽅法也可以看作是⼀个复杂的分治算法，对于⼤整数乘法，它能在O(nlogn)时间内解决。 是否能找到线性时间的算法？⽬前为⽌还没有结果。,53,Strassen矩阵乘法,A和B的乘积矩阵C中的元素Ci,j定义为:,若依此定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计算C的⼀个元素Cij，需要。35、做n次乘法和n-1次加法。因此，算出矩阵C的 个元素所需的计算时间为O(n3),传统⽅法：O(n3),54,Strassen矩阵乘法,使⽤与上例类似的技术，将矩阵A，B和C中每⼀矩阵都分块成4个⼤⼩相等的⼦矩阵。由此可将⽅程C=AB重写为：,传统⽅法：O(n3) 分治法:,由此可得：,复杂度分析 T(n)=O(n3) 没有改进,55,Strassen矩阵乘法,传统⽅法：O(n3) 分治法:,为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。,复杂度分析 T(n)=O(nlog7) =O(n2.81)较⼤的改进,56,Strassen矩阵乘法,传统⽅法：O(n3) 分治法: O(n2.81) 更快的⽅法?。36、,Hopcroft和Kerr已经证明(1971)，计算2个矩阵的乘积，7次乘法是必要的。因此，要想进⼀步改进矩阵乘法的时间复杂性，就不能再基于计算22矩阵的7次乘法这样的⽅法了。或许应当研究或矩阵的更好算法。 在Strassen之后⼜有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复杂性。⽬前最好的计算时间上界是 O(n2.376) 是否能找到O(n2)的算法？⽬前为⽌还没有结果。,57,棋盘覆盖,在⼀个2k2k 个⽅格组成的棋盘中，恰有⼀个⽅格与其他⽅格不同，称该⽅格为⼀特殊⽅格，且称该棋盘为⼀特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要⽤图⽰的4种不同形态的L型⾻牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊⽅格以外的所有⽅格，且任何。37、2个L型⾻牌不得重叠覆盖。,58,棋盘覆盖,当k0时，将2k2k棋盘分割为4个2k-12k-1 ⼦棋盘(a)所⽰。 特殊⽅格必位于4个较⼩⼦棋盘之⼀中，其余3个⼦棋盘中⽆特殊⽅格。为了将这3个⽆特殊⽅格的⼦棋盘转化为特殊棋盘，可以⽤⼀个L型⾻牌覆盖这3个较⼩棋盘的会合处，如 (b)所⽰，从⽽将原问题转化为4个较⼩规模的棋盘覆盖问题。递归地使⽤这种分割，直⾄棋盘简化为棋盘11。,59,棋盘覆盖,public void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) if (size = 1) return; int t = tile+, 。38、/ L型⾻牌号 s = size/2; / 分割棋盘 / 覆盖左上⾓⼦棋盘 if (dr = tc + s) / 特殊⽅格在此棋盘中 chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);else / 此棋盘中⽆特殊⽅格 / ⽤ t 号L型⾻牌覆盖左下⾓,boardtr + s - 1tc + s = t; / 覆盖其余⽅格 chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s,s); / 覆盖左下⾓⼦棋盘 if (dr = tr + s ,复杂度分析 T(n)=O(4k) 渐进意义下的最优算法,60,合并排序,基本思想：将待排序元素分成⼤⼩⼤致相同的2个⼦集合，分。39、别对2个⼦集合进⾏排序，最终将排好序的⼦集合合并成为所要求的排好序的集合。,public static void mergeSort(Comparable a,int left, int right) if (leftright) /⾄少有2个元素 int i=(left+right)/2; /取中点 mergeSort(a, left, i); mergeSort(a, i+1, right);merge(a, b, left, i, right); /合并到数组b copy(a, b, left, right); /复制回数组a ,复杂度分析 T(n)=O(nlogn) 渐进意义下的最。40、优算法,61,合并排序,算法mergeSort的递归过程可以消去。,62,合并排序,最坏时间复杂度：O(nlogn) 平均时间复杂度：O(nlogn) 辅助空间：O(n) 稳定性：稳定,思考题：给定有序表A1:n，修改合并排序算法，求出该有序表的逆序对数。,63,快速排序,在快速排序中，记录的⽐较和交换是从两端向中间 进⾏的，关键字较⼤的记录⼀次就能交换到后⾯单 元，关键字较⼩的记录⼀次就能交换到前⾯单元， 记录每次移动的距离较⼤，因⽽总的⽐较和移动次 数较少。,private static void qSort(int p, int r) if (pr) int q=partition(p,。41、r); /以ap为基准元素将ap:r划分成3段ap:q-1,aq和aq+1:r，使得ap:q-1中任何元素⼩于等于aq，aq+1:r中任何元素⼤于等于aq。下标q在划分过程中确定。 qSort (p,q-1); /对左半段排序 qSort (q+1,r); /对右半段排序 ,快速排序是对⽓泡排序的⼀种改进⽅法 它是由C.A.R. Hoare于1962年提出的,64,快速排序,private static int partition (int p, int r) int i = p, j = r + 1; Comparable x = ap; / 将= x的元素交换到左边区域 / 将 0); i。42、f (i = j) break; (a, i, j); ap = aj; aj = x; return j; ,初始序列,j-;,5, 7, 5, 2, 6, 8,i+;,5, 6, 5, 2, 7, 8,j-;,5, 2, 5, 6, 7,8,i+;,完成,5, 2, 5 6 7, 8,65,private static int randomizedPartition (int p, int r) int i = random(p,r); (a, i, p); returnpartition (p, r); ,快速排序,快速排序算法的性能取决于。43、划分的对称性。通过修改算法partition，可以设计出采⽤随机选择策略的快速排序算法。在快速排序算法的每⼀步中，当数组还没有被划分时，可以在ap:r中随机选出⼀个元素作为划分基准，这样可以使划分基准的选择是随机的，从⽽可以期望划分是较对称的。,最坏时间复杂度：O(n2) 平均时间复杂度：O(nlogn) 辅助空间：O(n)或O(logn) 稳定性：不稳定,66,线性时间选择,给定线性序集中n个元素和⼀个整数k，1kn，要求找出这n个元素中第k⼩的元素,private static Comparable randomizedSelect(int p,int r,int k) if (p=r) 。44、return ap; int i=randomizedpartition(p,r), j=i-p+1; if (k=j) return randomizedSelect(p,i,k); else returnrandomizedSelect(i+1,r,k-j); ,在最坏情况下，算法randomizedSelect需要O(n2)计算时间 但可以证明，算法randomizedSelect可以在O(n)平均时间内找出n个输⼊元素中的第k⼩元素。,67,线性时间选择,如果能在线性时间内找到⼀个划分基准，使得按这个基准所划分出的2个⼦数组的长度都⾄少为原数组长度的倍(01是某个正常数)，那么就可以。45、在最坏情况下⽤O(n)时间完成选择任务。,例如，若=9/10，算法递归调⽤所产⽣的⼦数组的长度⾄少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满⾜递归式T(n)T(9n/10)+O(n) 。由此可得T(n)=O(n)。,68,将n个输⼊元素划分成n/5个组，每组5个元素，只可能有⼀个组不是5个元素。⽤任意⼀种排序算法，将每组中的元素排好序，并取出每组的中位数，共n/5个。 递归调⽤select来找出这n/5个元素的中位数。如果n/5是偶数，就找它的2个中位数中较⼤的⼀个。以这个元素作为划分基准。,线性时间选择,设所有元素互不相同。在这种情况下，找出的基准x⾄少⽐3(n-5)/1。46、0个元素⼤，因为在每⼀组中有2个元素⼩于本组的中位数，⽽n/5个中位数中⼜有(n-5)/10个⼩于基准x。同理，基准x也⾄少⽐3(n-5)/10个元素⼩。⽽当n75时，3(n-5)/10n/4所以按此基准划分所得的2个⼦数组的长度都⾄少缩短1/4。,69,private staticComparable select (int p, int r, int k) if (r-p5) /⽤某个简单排序算法对数组ap:r排序; bubbleSort(p,r); return ap+k-1; /将ap+5*i⾄ap+5*i+4的第3⼩元素 /与ap+i交换位置; /找中位数的中位数，r-p-4即上⾯。47、所说的n-5 for ( int i = 0; i=(r-p-4)/5; i+ ) int s=p+5*i, t=s+4; for (int j=0;j3;j+) bubble(s,t-j); (a, p+i, s+2);Comparable x = select(p, p+(r-p-4)/5, (r-p+6)/10); int i=partition(p,r,x), j=i-p+1; if (k=j) return select(p,i,k); else returnselect(i+1,r,k-j); ,复杂度分析 T(n)=O(n),上述算法将每⼀组的⼤⼩定为5。48、，并选取75作为是否作递归调⽤的分界点。这2点保证了T(n)的递归式中2个⾃变量之和n/5+3n/4=19n/20=n，01。这是使T(n)=O(n)的关键之处。当然，除了5和75之外，还有其他选择。,70,最接近点对问题,给定平⾯上n个点的集合S，找其中的⼀对点，使得在n个点组成的所有点对中，该点对间的距离最⼩。,71,最接近点对问题,如果S的最接近点对是p3,q3，即|p3-q3|d，则p3和q3两者与m的距离不超过d，即p3(m-d,m，q3(m,m+d。 由于在S1中，每个长度为d的半闭区间⾄多包含⼀个点(否则必有两点距离⼩于d)，并且m是S1和S2的分割点，因此(m-d,m中⾄多包含。49、S中的⼀个点。由图可以看出，如果(m-d,m中有S中的点，则此点就是S1中最⼤点。 因此，我们⽤线性时间就能找到区间(m-d,m和(m,m+d中所有点，即p3和q3。从⽽我们⽤线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。,能否在线性时间内找到p3,q3？,72,最接近点对问题,下⾯来考虑⼆维的情形。,选取⼀垂直线l:x=m来作为分割直线。其中m为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S1和S2。 递归地在S1和S2上找出其最⼩距离d1和d2，并设d=mind1,d2，S中的最接近点对或者是d，或者是某个p,q，其中pP1且qP2。 能否在线性时间内找到p,q？,73,最接近点对问题,考虑。50、P1中任意⼀点p，它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有distance(p，q)d。满⾜这个条件的P2中的点⼀定落在⼀个d2d的矩形R中 由d的意义可知，P2中任何2个S中的点的距离都不⼩于d。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。 因此，在分治法的合并步骤中最多只需要检查6n/2=3n个候选者,能否在线性时间内找到p3,q3？,证明:将矩形R的长为2d的边3等分，将它的长为d的边2等分，由此导出6个(d/2)(2d/3)的矩形。若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽舍原理易知⾄少有⼀个(d/2)(2d/3)的⼩矩形中有2个以上S中的点。设u，v是位于同⼀⼩矩形中的2个点，则 d。51、istance(u,v)d。这与d的意义相⽭盾。,74,为了确切地知道要检查哪6个点，可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。由于能与p点⼀起构成最接近点对候选者的S2中点⼀定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离⼩于d。由上⾯的分析可知，这种投影点最多只有6个。 因此，若将P1和P2中所有S中点按其y坐标排好序，则对P1中所有点，对排好序的点列作⼀次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者。对P1中每⼀点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。,最接近点对问题,75,最接近点对问题,public staticdouble cpair2(S) n=|S|; if (n。52、 m 2. d1=cpair2(S1); d2=cpair2(S2); 3. dm=min(d1,d2);,4. 设P1是S1中距垂直分割线l的距离在dm之内的所有点组成的集合；P2是S2中距分割线l的距离在dm之内所有点组成的集合； 将P1和P2中点依其y坐标值排序； 并设X和Y是相应的已排好序的点列； 5. 通过扫描X以及对于X中每个点检查Y中与其距离在dm之内的所有点(最多6个)可以完成合并； 当X中的扫描指针逐次向上移动时，Y中的扫描指针可在宽为2dm的区间内移动； 设dl是按这种扫描⽅式找到的点对间的最⼩距离； 6. d=min(dm,dl); return d; ,复杂度分析 T。53、(n)=O(nlogn),76,设计⼀个满⾜以下要求的⽐赛⽇程表： (1)每个选⼿必须与其他n-1个选⼿各赛⼀次； (2)每个选⼿⼀天只能赛⼀次； (3)循环赛⼀共进⾏n-1天。,按分治策略，将所有的选⼿分为两半，n个选⼿的⽐赛⽇程表就可以通过为n/2个选⼿设计的⽐赛⽇程表来决定。递归地⽤对选⼿进⾏分割，直到只剩下2个选⼿时，⽐赛⽇程表的制定就变得很简单。这时只要让这2个选⼿进⾏⽐赛就可以了。,77,循环赛⽇程表,设计⼀个满⾜以下要求的⽐赛⽇程表： (1)每个选⼿必须与其他n-1个选⼿各赛⼀次； (2)每个选⼿⼀天只能赛⼀次； (3)循环赛⼀共进⾏n-1天。,按分治策略，将所有的选⼿分为两半，。54、n个选⼿的⽐赛⽇程表就可以通过为n/2个选⼿设计的⽐赛⽇程表来决定。递归地⽤对选⼿进⾏分割，直到只剩下2个选⼿时，⽐赛⽇程表的制定就变得很简单。这时只要让这2个选⼿进⾏⽐赛就可以了。,78,第3章 动态规划,79,动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若⼲个⼦问题,80,算法总体思想,动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若⼲个⼦问题,81,但是经分解得到的⼦问题往往不是互相独⽴的。不同⼦问题的数⽬常常只有多项式量级。在⽤分治法求解时，有些⼦问题被重复计算了许多次。,算法总体思想,82,如果能够保存已解决的⼦问题的答案，⽽在需要时再找出已求得的答案，就可。55、以避免⼤量重复计算，从⽽得到多项式时间算法。,算法总体思想,T(n),Those who cannot remember the past are doomed torepeat it. -George Santayana, The life of Reason, Book I: Introduction and Reason in Common Sense (1905),83,动态规划基本步骤,找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 递归地定义最优值。 以⾃底向上的⽅式计算出最优值。 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。,84,完全加括号的矩阵连乘积,(1)单个矩阵是完全加括号的； (2。56、)矩阵连乘积 是完全加括号的，则 可 表⽰为2个完全加括号的矩阵连乘积 和 的乘积并加括号，即,16000, 10500, 36000, 87500,34500,完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： 设有四个矩阵 ，它们的维数分别是： 总共有五中完全加括号的⽅式,85,矩阵连乘问题,给定n个矩阵 ， 其中 与 是可乘的， 。考察这n个矩阵的连乘积 由于矩阵乘法满⾜结合律，所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以⽤加括号的⽅式来确定。 若⼀个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调⽤2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积,86,矩阵。57、连乘问题,给定n个矩阵A1,A2,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2 ,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。,穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每⼀种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出⼀种数乘次数最少的计算次序。,算法复杂度分析： 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。 由于每种加括号⽅式都可以分解为两个⼦矩阵的加括号问题：()(Ak+1An)可以得到关于P(n)的递推式如下：,87,矩阵连乘问题,穷举法 动态规划,将矩阵连乘积 简记为Ai:j ，这⾥ij,考察计算Ai:j的最优计算次序。设这个计算。58、次序在矩阵 Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，ikj，则其相应完全 加括号⽅式为,计算量：Ai:k的计算量加上Ak+1:j的计算量，再加上Ai:k和Ak+1:j相乘的计算量,88,分析最优解的结构,特征：计算Ai:j的最优次序所包含的计算矩阵⼦链 Ai:k和Ak+1:j的次序也是最优的。 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其⼦问题的最优解。这种性质称为最优⼦结构性质。问题的最优⼦结构性质是该问题可⽤动态规划算法求解的显著特征。,89,建⽴递归关系,设计算Ai:j，1ijn，所需要的最少数乘次数mi,j，则原问题的最优值为m1,n 当i=j时，Ai:j=Ai，因此，mi,i=0，i=1,2,n 。59、当ij时， 可以递归地定义mi,j为：,这⾥ 的维数为,的位置只有 种可能,90,计算最优值,对于1ijn不同的有序对(i,j)对应于不同的⼦问题。因此，不同⼦问题的个数最多只有 由此可见，在递归计算时，许多⼦问题被重复计算多次。这也是该问题可⽤动态规划算法求解的⼜⼀显著特征。 ⽤动态规划算法解此问题，可依据其递归式以⾃底向上的⽅式进⾏计算。在计算过程中，保存已解决的⼦问题答案。每个⼦问题只计算⼀次，⽽在后⾯需要时只要简单查⼀下，从⽽避免⼤量的重复计算，最终得到多项式时间的算法,91,⽤动态规划法求最优解,publicstatic void matrixChain(int p, int m,。60、 int s) int n=-1; for (int i = 1; i = n; i+) mii = 0; for (int r = 2; r = n; r+) for (int i = 1; i = n - r+1; i+) int j=i+r-1; mij= mi+1j+ pi-1*pi*pj; sij = i; for (int k = i+1; k j; k+) int t = mik + mk+1j + pi-1*pk*pj; if (t mij) mij = t; sij = k; ,算法复杂度分析：算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r，i和k。61、的3重循环。循环体内的计算量为O(1)，⽽3重循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间上界为O(n3)。算法所占⽤的空间显然为O(n2)。,92,动态规划算法的基本要素,⼀、最优⼦结构,矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其⼦问题的最优解。这种性质称为最优⼦结构性质。 在分析问题的最优⼦结构性质时，所⽤的⽅法具有普遍性：⾸先假设由问题的最优解导出的⼦问题的解不是最优的，然后再设法说明在这个假设下可构造出⽐原问题最优解更好的解，从⽽导致⽭盾。 利⽤问题的最优⼦结构性质，以⾃底向上的⽅式递归地从⼦问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。最优⼦结构是问题能⽤动态规划算法求解的前提。,注意：同⼀个问。62、题可以有多种⽅式刻划它的最优⼦结构，有些表⽰⽅法的求解速度更快(空间占⽤⼩，问题的维度低),93,⼆、重叠⼦问题,递归算法求解问题时，每次产⽣的⼦问题并不总是新问题，有些⼦问题被反复计算多次。这种性质称为⼦问题的重叠性质。 动态规划算法，对每⼀个⼦问题只解⼀次，⽽后将其解保存在⼀个表格中，当再次需要解此⼦问题时，只是简单地⽤常数时间查看⼀下结果。 通常不同的⼦问题个数随问题的⼤⼩呈多项式增长。因此⽤动态规划算法只需要多项式时间，从⽽获得较⾼的解题效率。,94,三、备忘录⽅法,备忘录⽅法的控制结构与直接递归⽅法的控制结构相同，区别在于备忘录⽅法为每个解过的⼦问题建⽴了备忘录以备需要时查看，避免了。63、相同⼦问题的重复求解。,m0 private static int lookupChain(int i, int j) if (mij 0) return mij; if (i = j) return 0; int u =lookupChain(i+1,j) + pi-1*pi*pj; sij = i; for (int k = i+1; k j; k+) int t = lookupChain(i,k) + lookupChain(k+1,j) + pi-1*pk*pj; if (tu) u = t; sij = k; mij = u; return u; ,95,最长公共⼦序列,若给定。64、序列X=x1,x2,xm，则另⼀序列Z=z1,z2,zk，是X的⼦序列是指存在⼀个严格递增下标序列i1,i2,ik使得对于所有j=1,2,k有：zj=xij。例如，序列Z=B，C，D，B是序列X=A，B，C，B，D，A，B的⼦序列，相应的递增下标序列为2，3，5，7。 给定2个序列X和Y，当另⼀序列Z既是X的⼦序列⼜是Y的⼦序列时，称Z是序列X和Y的公共⼦序列。 给定2个序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，找出X和Y的最长公共⼦序列。,96,最长公共⼦序列的结构,设序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn的最长公共⼦序列为Z=z1,z2,zk ，则 (1)若xm=yn，则zk。65、=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共⼦序列。 (2)若xmyn且zkxm，则Z是xm-1和Y的最长公共⼦序列。 (3)若xmyn且zkyn，则Z是X和yn-1的最长公共⼦序列。,由此可见，2个序列的最长公共⼦序列包含了这2个序列的前缀的最长公共⼦序列。因此，最长公共⼦序列问题具有最优⼦结构性质。,97,⼦问题的递归结构,由最长公共⼦序列问题的最优⼦结构性质建⽴⼦问题最优值的递归关系。⽤cij记录序列和的最长公共⼦序列的长度。其中， Xi=x1,x2,xi；Yj=y1,y2,yj。当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共⼦序列。故此时Cij=0。其他情况下，由最优⼦结构性质可建⽴递归关系如下。