2023年8月1日发(作者：)
２００４年上海大学硕士学位论文摘要非线性背包问题是一类特殊的非线性整数规划问题．由于在管理，经济以及工业生产的最优化模型中的广泛应用，它在非线性整数规划中担当着十分重要的角色．一个非线性背包问题可描述如下：ｍａｘｍ）＝∑厶（ｑ）ｊ＝１ｎｓｃ．口（。）＝∑９ｊ（ｑ）ｓｂ，ｊ＝ｌ。∈Ｘ＝扛１０Ｓｘｊ≤ｕｊ，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ｝其中疗，毋为定义在吣，ｑ】上的连续实函数，ｂ和邯分别是变量唧的下界和上界．不失一般性，设ｆｆ，ｕｊ为整数，这里Ｊ—ｌ…．，ｎ．本文研究的主要问题是两类非线性背包问题一凸背包问题和凹背包问题．根据这两类背包问题的单调性和凸性，本文给出了０－１线性化方法．凸背包问题可以直接转化成一个等价的０－１线性背包问题，然后通过隐枚举法或动态规划法解这个ｏ．１线性背包问题就可以得到原凸背包问题的最优解．本文把这种ｏ．１线性化方法同Ｐｅｇｇｉｎｇ方法以及拉格朗匿对偶和区域割方法做丁数值比较，数值结果充分体现了ｏ＿１线性化算法的有效性和优越性．丽对于凹背包问题，首先用一个线性函数逼近目标函数，约束条件不变，这样就得到了一个目标函数是线性函数的凸背包问题，接下来就可以把得到的这个凸背包问题转化成一个等价的ｏ－ｌ线性背包问题，同样可用隐枚举法求解这个０－１线性背包问题．为了保证收敛性，我们利用函数的单调性和区域割技巧丢掉一些整数箱子，然后把保留下来的区域分割成一些整数箱子的并集．本文共由五章组成．第一章是前言部分，对非线性背包同题作了简单的介绍，并给出了几个非线性背包问题的模型；第二章介绍了求解非线性背包问题的现有算法；第三章绘出了凸背包问题的ｏ＿１线性化方法和数值结果，以及解０－１线性背包问题的几个常用算法，并与Ｐｅｇｇｉｎｇ方法。拉格朗日对偶和区域割方法做了数值结果比较；第四章着重介绍了凹背包问题的０＿１线性化分支定界算法；第五章是本文工作的总结以及对未来的研究２００４年上海大学硕士学位论文展望．ｎ关键询：非线性背包问题，线性逼近，０－１线性化，动态规划法，隐枚举法，Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ对偶，分支定界算法．２００４年上海大学硕士学位论文ＩＩＩＡｂｓｔｒａｃｔＮｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｉｓ８ｓｐｅｃｉａｌｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｎｔｅｇｅｒｐｒｏｇｒａｍ－ｍｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｂｅｃａｕｓｅｏｆｉｔｓｗｉｄｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｓｉｎｃｌｕｄｉｎｇｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，ｅｃｏｎｏｍｉｃｓａｎｄｉｎｄｕｓｔｒｙ，ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｐｌａｙｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｉｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｎｔｅｇｅｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ａｇｅｎｅｒａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｃａｎｂｅｄｅｓｃｒｉｂｅｄａｓｆｏｌｌｏｗｓ：ｎｒｎａｘｍ）＝∑乃（ｑ）』＝ｌｓｔ．９（。）＝∑鲫（≈）５６，ｊ＝１￡∈Ｘ＝（ｚｆ０Ｓｚ，≤％，≈ｉｎｔｅｇｅｒ｝，ａｎｄｇ｛ａｒｅｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｒｅａｌ－ｖａｌｕｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｌｌ＼｝，、‰｛、。ｂａｎｄ弘ｊａｒｅｔｈｅｌｏｓｓｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ，ｂａｎｄｑａｌｅａｓｓｕｍｅｄｔｏｂｅｉｎｔｅｇｅｒｓ，Ｔｈｅｇｏａｌｏｆｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｊｓｔｏｓｔｕｄｙｔｗｏｓｐｅｃｉａｌｃｌａｓｓｅｓｏｆｎｏｕｌｈｉｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｃｏｎｃａｖｅｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｕｓｉｎｇｔｈｅａｎｄｔｈｅｃｏｎｖｅｘ／ｔｙｏｆｔｈｅｓｅｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｗｅｐｒｏ－ａ０－１ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．Ａｃｏｎｖｅｘｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｃａｎｂｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄａｎｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ０－ｉｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍＴｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｉｍａｒｙｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｃａｎｂｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｒｅｓｕｌｔｉｎｇ０－ｉｌｉｎｅａｒｐｒｏｂｌｅｍｂｙｔｈｅｉｍｐｌｉｃｉｔｅｎｕｍｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｏｒｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｇｒａｍ—ｍｅｔｈｏｄ．Ｗｅｃｏｍｐａｒｅｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄ０－１ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈＰｅｇｇｉｎｇａｎｄＬａｇｒａｎｇｉａｎａｎｄＤｏｍａｉｎＣｕｔｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｒｅｓｕｌｔｓｔｈｅｅ最ｃｉｅｎｃｙａｎｄｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｆｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓｔｈｅｃｏｎｃａｖｅｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅｏｂｊｅｃ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｒｅｐｌａｃｅｄｂｙａｌｉｎｅａｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｔｏｇｅｔａｃｏｎｖｅｘｋｎａｐｓａｃｋｗｉｔｈａｌｉｎｅａｒｏｂｊｅｃｔｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．ＴｈｅｎｔｈｅｒｅｓｕｌｔｉｎｇｃｏｎｖｅｘｋｎａｐｓａｃｋｉｓｓｏｌｖｅｄｂＹｔｈｅｉｍｐｌｉｃｉｔｅｎｕｍｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｆｔｅｒｂｅｉｎｇｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄａｎｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ０－１ｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍＴｏｅｎｓｕｒｅｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ｍｏｎｏ—ｐｒ曲ｌｅｍｗｈｅｒｅ｜ｉｌｏｗｅｒｂｏｕｎｄａｎｄｔｈｅｕｐｐｅｒｂｏｕｎｄｏｆｔｈｅａｒｇｕｍｅｎｔ％ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙｆｏｒｊ＝ｌ，…，ｎ．Ｗｉｔｈｏｕｔｐｒｏｂｌｅｍｓ：ｃｏｎｖｅｘｍｏｎｏｔｏｎｉｃ／ｔｙｐｏｓｅｉｎｔｏｃｏｎｖｅｘｋｎａｐｓａｃｋｍｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｈｏｗｐａｒｔｔｉｒｅｐｒｏｂｌｅｍｐｒｏｂｌｅｍｉｎｔｏ２００４年上海大学硕士学位论文ｔｏｎｉｃｉｔｙａｎｄｄｏｍａｉｎｃｕｔｔｅｃｈｎｉｑｕｅａｒｅｕｓｅｄｔｏｒｅｍｏｖｅｃｅｒｔａｉｎｉｎｔｅｇｅｒｂｏｘｅｓａｎｄｔｈｅｒｅｖｉｓｅｄｄｏｍａｉｎａｒｅｐａｒｔｉｔｉｏｎｅｄｉｎｔｏａｕｎｉｏｎｏｆｉｎｔｅｇｅｒｂｏｘｅｓ．Ｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｉｓｏｒｇａｎｉｚｅｄａｓｆｏｌｌｏｗｓ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒ１，ｗｅｇｉｖｅｓｏｍｅｂｒｉｅｆｉｎｔｒｏ－ｄｕｃｔｉｏｎｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓｏｍｅｅｘａｍｐｌｅｓｏｆｉｔｓａｐｐｌｉ—ｃａｔｉｏｎｓＩｎＣｈａｐｔｅｒ２．ｍｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｏｍｅｍｅｔｈｏｄｓｉｎｔｈｅｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒ３，ｗｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅ０－１ｌｌｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｃｏｎｖｅｘｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｒｅｐｏｒｔｓｙｓｔｅｍａｔｉｃｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｒｅｓｕｌｔｓ．Ｗｅａｌｓｏｃｏｍｐａｒｅｔｈｅ０－１ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈｔｈｅＰｅｇｇｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅＬａｇｒａｎｇｉａｎａｎｄＤｏｍａｉｎＣｕｔｍｅｔｈｏｄ．Ｃｈａｐｔｅｒ４ｆｏｃｕｓｅｓｏｎｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｃｏｎｃａｖｅｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ａ０－１ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｂｒａｎｃｈ－ａｎｄ－ｂｏｕｎｄｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｆｏｒｔｈｅｃｏｎｃａｖｅｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅｓｕｕｍｌａｒｉｚｅｔｈｅｔｈｅｓｉｓｉｎＣｈａｐｔｅｒ５ａｎｄｓｕｇｇｅｓｔｓｏｍｅｆｕｔｕｒｅｒｅｓｅａｒｃｈｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍ，ｌｉｎｅａｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，０－Ｉｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎ—ｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｍｅｔｈｏｄ，ｉｍｐｌｉｃｉｔｅｎｕｍｅｒａｔｉｏｎ，Ｌａｇｒａｎｇｉａｎｄｕａｌｍｅｔｈｏｄ，ｂｒａｎｄｌ一ａｎｄ．ｂｏｕｎｄｍｅｔｈｏｄ．ｒｖＹ上海大学６７８０４３本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大学硕士学位论文质量要求。委员（工作单位、职称）答主辩任：，链移广名飚琴』ｐ争毗；擎炙委员●■上大，）泛、ｎ．磁■燃一儿几，ｎ导师●●锶塍舭荚弓兕垫攻答辩日期：≯邸牛．Ｓ原创性声明本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：釜丑塞日期塑业．点≥７本论文使用授权说明本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被套阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。（保密的论文在解密后应遵守此规定）签名：盏丑基导师签名：盈：！缝日｛｝目＝芝纽乡第一章前言§１．１问题的提出和定义一个徒步旅行者带了一个背包，他要用背包装入尽可能多的物品而不能超过这个背包的容量．如果有几种不同的物品可以装进背包，且每种物品都有一定的价值和体积．下面的问题就产生了：如何从这几种物品中选择才能使得放入背包的物品的价值最大．这就是著名的背包问题（ＫｎａｐｓａｃｋＰｒｏｂｌｅｍ）．令ｂ表示背包的最大容量，整数１，２，…，ｎ表示ｎ种可以选择的物品，聊，ｑ分别表示第Ｊ种物品的价值和体积．背包问题的数学公式可以表示为：ｎ暇Ｐ）ｍ“∑ｐｊｘｊＪ＝ｌｓ．ｔ．∑ａｊｘｊ≤ｂ，ｊ＝ｔｘｊ≥０，ｑｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝ｌ。…，ｎｔ其中ｘｊ代表第Ｊ种物品被选择的数目．当ｘｊ∈｛ｏ，１｝时，同题（ＫＰ）就是我们所熟悉的０－１线性背包问题．线性背包问题之所以得到了深入的研究，是因为很多实际问题都可以表示为线性背包问题．而在很多情况下，在经济管理与工业生产中，许多问豚的数学模型却是非线性的，由此产生的最优化问题就是非线性背包问题．非线性背包问题应用广泛，其中包括生产计划，资金预算，网络系统可靠性等．尽管非线性背包问题有着重要的应用，由于问题的困难性。这类问题在文献中并没有受到足够的重视，缺乏有效的算法或算法的实现经验．非线性背包问题的一般形式可表示为：（ＮＫＰ）ｍａｘｍ）＝∑，ｊ（ｑ）ｊ＝ｌｓｔ．ｇ（ｚ）＝∑．ｑＡｘｊ）≤ｂ，ｆＪ≤ｑＳｕｊ，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，．．．，ｎ．本文将用到一些概念，下面加以简单的说明２００４年上海大学硕士学位论文２定义１．１．１某个数学规划限制全部或部分决策变量取整数值，称为整数规划；如果限制全部决策变量都取整数值，就称其为纯整数规划；如果仅限制部分决策变量取整数值，则称其为混合整数规划；如果所有决策变量取值仅限于０或者』，则称为０．ｉ规划，这种决策变量称为止』变量．定义１．１．２若规划中目标函数及约束函数都是线性函数，称它为线性规划；否则，若其中至少有一个是非线性函数，则称它为非线性规划．特别地，若目标函数为二次函数，且约束函数是线性函数，这种非线性规划为二次规划．定义１．１．３如果一个函数可以写成若干十一元函数和的形式，则称其为可分的．即若，知１，ｘ２，…，。。）＝，ｌ啊１）＋１２（ｚ？）＋…＋＾（ｚ。），则称函数，是可分的．定义１．１．４假设函数，是定义在集合Ｄ上的函数，如果对ＶＸｌ，ｚ２∈Ｄ且ｚｌＳ２；２都有，（ｚ１）≤，（。２），则称函数，在Ｄ上是非减的．定义１．１．５称Ｄｃ酞”是一凸集是指如果对Ｖ．ＴＩ，ｘ２∈Ｄ和Ａ∈爬，０ＳＡ≤１，有＾０１＋（１一Ａ）ｚ２∈Ｄ定义１．１．６如果ＤｃＲ，－为一凸集，，：Ｄ—Ｒ为凸ｒ凹Ｊ函数是指如果对Ｖ：ｇｌ，。２∈Ｄ和Ａ∈Ｒ，０≤＾≤１，有，（Ａ。ｌ＋（１一Ａ）。２）≤（≥）Ａ，（ｚ１）＋（１一Ａ），（ｚ２）我们这里讨论的目标函数以及约束函数都具有单调性，所以这个问韪可以称为单调规划问题．根据目标函数的凸性，我们可以将此类问题分为两类：定义１．１．７在本文的问题ｒⅣＫ列中，如果目标函数是凹函数，则称此规划为凸背包问题；否则，如果目标函数是凸函数，则称此规划为凹背包问题．定义１．１．８【。Ｊ是小于等于ｚ的最大的整数，而ｆｚ］则是大干等于ｚ的最小的整数．§１．２非线性背包问题的模型非线性背包问题有着广泛的应用，主要包括资金预算（ＣａｐｉｔａｌＢｕｄｇｅｔｉｎｇ）（［３３］），生产计划（ＰｒｏｄｕｃｔｉｏｎＰｌａｎｎｉｎｇ）（ｆ３１】），市场生产（Ｍａｒｋｅｔｉｎｇ）（［３２１），分层抽样（Ｓｔｒａｔｉ—ｆｌｅｄｓａｍｐｌｉｎｇ）（［３５］），网络中系统可靠性（ＳｙｓｔｅｍＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ）（［３４］［１３］［９］），制造业中容量计划（Ｃａｐａｃｉｔｙｐｌａｎｎｉｎｇｉｎｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇｎｅｔｗｏｒｋｓ）（ｆ１３】）等，本节介绍三个模型．２（Ｘ）４年上海大学硕士学位论文３１．２．１．制造业中容量计划问题许多制造业系统都可以看作是一个排队的阿络模型．其中，网络中的一个结点代表一台机器或者一个工作站，制造业容量计划问题就是给定一个总的费用约柬值，使得工作站的服务耗用最小．这个问题可描述成下面的样子；（ＭＣＰ）ｒａｉｎ∑ｆｊ（ｚｊ）ｊ＝ｌｓｔ．∑毋（ｑ）＜６，ｊ＝ｌ０兰≈≤“Ｊ．。ｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，．．，ｎ，这里我们记；ｎ：网络中工作站的个数；筇第Ｊ个工作站的服务率（即决策变量）；矗（ｑ）：第ｊ个工作站达到容量ｑ所需要的费用（凸函数）；ｇｊ（ｘｉ）＝幻岛（≈）：第Ｊ个工作站工作需要的平均投入费用；６一：第Ｊ个工作站完成每个工作需要的平均投入费用；Ｌｊ（ｚｊ）：第ｊ个工作站需要完成工作的均值，具体的函数形式在下面ｉ６：整个工作过程中网络所允许的总投入费用；％：第Ｊ个工作站顾客的到来率（对Ｖ＾∞＞ｏ）；∞，：第Ｊ个工作站等待顾客的时间方差的平方项系数；ｃｓｊ：第ｊ个工作站服务时间方差的平方项系数；ＢｉｔｒａｎａｎｄＴｉｒｕｐａｔｉ（［３８］）用下面的函数来近似Ｌｊ（ｘｊ），并证明了岛（ｑ）是ｑ的凸函数：Ｌｊ（ｘｊ）＝∞／ｑ＋（（。ｑ＋ｃ５Ｊ）督／（２ｑ（勺一∞）））＾（∞，ｑ，ｃａｔ，ｃ勺）其中味＾ｐ一２竹勺∞ｃｑ）（。Ｊ一７ｊ）／３７ｊ（ｃａｊ＋ｃｓｉ））ｉｆｃａｊ≤１ＪＣ勺ｆｆ，ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ１．２．２．分层抽样中的最优样本配置我们来考虑如何估计人口中值ｐ的值Ｆ．一个解决此问题的方法就是把人口分成ｎ类，从每类中抽样，人口中值就可以描述为这ｎ类中抽样平均值的加权和．２００４年上海大学硕士学位论文４从每类中抽取样本的数量问题就可以形成一个非线性背包问题的模型，其中整数决策变量表示每类中样本的规模．这类问题可以表述为在给定的抽样费用预算下使得估算值§的方差最小．抽样费用函数可以为线性函数也可以为非线性函数（【３９】【３５】）．我们这里考虑约束函数为线性函数的情况．（ＳＡＭＰ）ｍｉｎｙ（Ｆ）ｎｓ．ｔ．∑ｂｊｘｊ≤ｂ，ｊ＝ｌｌｊ≤ｑＳ２ｂ，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ．Ｊ＝１，．．．，ｎ，这里我们记：ｎ：分成类的数目；％：每类中样本的大小即决策变量（Ｊ＝１，…，ｎ）；Ｎｊ：第Ｊ类中抽样单元的数目；Ⅳ：所有类中抽样单元的数目（Ｎ＝∑譬１％）；脚：第Ｊ类的实际中值大小；一，：第Ｊ类的标准方差；矾：第Ｊ类的样本中值；“：人口中值；６：所有可用的抽样费用；ｂｊ：在第Ｊ类中调查一个单元所需的费用．Ｃｏｃｈｒ∞（［３５］）指出，ｐ的无偏估计量萝可以由所有类的样本中值的加权来计算，也就是可＝∑饕ｌＮ／Ｆ／Ｎ．方差估计由下面的公式给出：ｙ（口）＝（１／Ｎ２）∑孵霹（屿一ｑ）／（＾。ｑ）．ｊ＝ｌ令吗＝（Ｎｊａｊ／Ｎ）２，Ｄ＝∑裟ｉ由／坼，问题（ＳＡＭＰ）可以写成：（ＳＡＭＰ’）ｍｉｎ∑ｄｊｌｚＪ—Ｄｊ＝ｌｓ．ｔ．∑ｂｑｓｂ，ｊ＝ｌ０≤叶≤“ｊ，ｑｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，．．．，ｎ－注意到在（ＳＡＭＰ’）中，目标函数是一个可分的凸函数，约束函数是一个线性函数，所以它是一个凸背包问题．２００４年上海大学硕士学位论文１．２．３．系统可靠性问题５对于—个Ｎ级串联模型，问题在于如何进行最优的冗余分配，使得在给定费用约束下系统的可靠度最大．如图（１．１）．数学模型可表示为：（蛐）ｍａｘＲ。＝ⅡｎＡｘＪ）ｊ＝ｔｎｓｔ．∑ｇｉ（ｘｊ）≤ｂ，Ｊ。１０Ｓｘｊ≤ｕｊ，２ｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，－．．，ｎ，这里我们记：见：整个系统的可靠度；Ｒｊ（％）：第Ｊ个子系统的可靠度；ｇｊ（Ｘｊ）：耗费在第Ｊ级上的费用；６：可用费用的总数；ｌｊ：第Ｊ个子系统最少的级部件数；“第Ｊ个子系统的级部件数；ｕｆ：第Ｊ个子系统最多的级部件数．如果我们把（ＳＲ）的目标函数取对数。这样它就可以转化成一个（ＮＫＰ）问题图１．１：串并联系统２００４年上海大学硕士学位论文６§１＿３本文工作概要本文的主要工作是把非线性背包问题转化成我们所熟悉的０－１线性背包问题，然后通过解这个ｏ－ｌ线性背包问题来解对应的非线性背包问题．在【３】中Ｈｏｃｈｂａｕｍ把凸背包问题转化成一个等价的ｏ＿１线性背包问题，并提出用“贪婪”算法得到与ｏ－１线性背包问题相应的连续解，然而并没有给出数值结果．本文将在第三章将此方法给予介绍，并利用隐枚举法解相应的０－１线性背包问题，最后给出了数值结果，我们把这种方法称为０－１线性化方法．而对于凹背包问题则不能直接利用Ｈａｕｃｈｂａｕｍ提出的这个０－１线性化方法．我们用—个线性函数来逼近目标函数，而约束条件不变，这样我们就得到了一个目标函数是线性函数的凸背包问题，利用ｏ．１线性化方法我们就可以得到凸背包问题的最优值，很容易证明它是原凹背包问题的一个上界，而此时得到的最优解代入原问题就得到一个下界．由于函数具有单调性，我们可以的并集的形式．接下来就可以在这些整箱子中解类似的问题，直到找到原问题的最优解．这种方法我们称之为凹背包问题的ｏ－１线性化分支定界法，在第四章中我们给出了主要算法及数值结果．由于要解０＿ｌ线性背包同题，我们还介绍了求解ｍ１线性背包问题的几种经典算法．借助于“区域割”技巧去掉定义域中的一些点，并把余下的区域表示成多个整箱子第二章现有主要算法介绍文献中求解（ＮＫＰ）问题的算法大多是分支定界算法（【１２㈣）．当（ＮＫＰ）为凸背包问题，即以ｚ，）为凹函数，缈（ｚ，）为凸函数时，由于相应的连续松弛问题是一个凸规划问题，可以用成熟的非线性规划方法来求解；而当目标函数，ｊ（ｚ，）为凸函数，约束函数ｇｊ（＊ｊ）为凸函数时，对应的连续松弛问题是一个全局最优化问题，直接求解将会很困难．另一类方法则是借助了函数的可分性而形成的动态规如算法（［１１Ｊ［７Ｊ）和对偶算法（【４１），再或者就是分支定界法与动态规划技巧的结合（【５１【８１）．Ｃｏｏｐｅｒ指出任何求解多维非线性整数规划的技巧都可以用寒求解单一约束的问题（ＮＫＰ）（［２】【１０１）．Ｌａｗｌｅｒ在（［３６１）中简单的描述了一个近似算法求解（ＮＫＰ），Ｈｏｃｈｂａｕｍ（［３７］）也提出了一个解决凸背包问题的算法，但是没有给出数值实验结果．本章介绍了四个算法：借助松弛技巧的Ｐｅｇｇｉｎｇ算法。动态规划算法，动态规鲻与分支定界相结合的混合算法，拉格朗日对偶和区域割法．§２．１Ｐｅｇｇｉｎｇ算法本算法所考虑的同题（ＮＫＰ）要求且标函数是可微的单调的凹函数，约束函数是可微的单调凸函数．此算法主要是一个分支定界算法，其中在每个结点处都利用ＫＫＴ条件求解（ＮＫＰ）去掉变量整数约束的松弛问题．尤其当决策变量可以表示为单约束函数的拉格朗日乘子的函数形式时，本节给出的求解连续松弛问题的算法非常有效．２．１．１．解连续变量问题令（ｃＰ）表示（ＮＫＰ）的连续松弛问题：（ｅＰ）ｍａｘ∑厶（ｑ）ｓｔ∑野（≈）ｓ６，ｊ＝１‘≤。ＪＳ“，，Ｊ＝１，．．．，ｎ对于把整数约束去掉的这类松弛问题，一般都是利用ＫＫＴ条件求解．最初研究的此类问题是带有单线性约束的二次背包问题，后来就推广到一般的具有可分的凹的７２００４年上海大学硕士学位论文８目标函数和单线性约束的问题．类似的研究也用到了具有可分的凹的目标函数和单约束∑冬。ｑ＝ｂ以及连续有界变量约束的问题．（ＣＰ）的ＫＫＴ条件为下面的一些公式：∑毋（勺）ｓｂ（２．１．１）ｉ＝ｉ０≤ｚＪＳ呵Ｏ＝Ｉ．．．．，ｎ），（２．１．２）ａＤ／ａ，。ｊ一＾ａ毋／Ｏｘｉ一２０＋１吩＝ｏｏ＝ｌ，．．．，ｎ）（２．１．３）Ａ（６一∑毋（≈））＝０，（２１．４）Ｊ＝１吩（ｆＪ—ｑ）＝ｏＯ＝１，．．．，ｎ），（２１．５）１蜥（ｑ一吩）＝００＝１，．．．，ｎ），（２．１．６）叶≥００＝１，．．，ｎ），（２．１．７）ｑ≥ｏｕ＝１，．，．，ｎ），（２．１．８）Ａ＞０．（２．１．９）其中Ａ，叱，屿分别为∑≥１毋（ｑ）曼ｂ，如曼ｑ，ｑｓ嘶的拉格朗日乘子－令弓（Ａ）表示方程ａＤ／ａｘｊ—Ａａ毋／ａｑ＝０的关于Ａ≥０的一个根·考虑下面的表达式，其中∞，ｑ，ｔｑ都是乘子＾的函数：ｑ＾Ｉ｜＾～，、、０一ｑⅥ；＜弓＾＝ｖ弓∽＜似拯吲ｋｂ”ｑ蚴ｃａ，＝｛：厶（。）／８ｚＪ一＾ａ９ｊ（ｂ）７。。’；；耄；：；；：ｑｃａ，＝｛：。厶。ｑ，，。ｑ＋。。毋。Ⅵ，，。。，；ｉ，ｆ弓蓄ｊ。（Ａ。，）≥＜ｑｕｊ可以证明当Ａ＞０时，ｚ，（Ａ）．叱（Ａ）１ｑ（Ａ）满足除（２．３．１）和（２．３４）之外的（ｃＰ）的所有的ＫＫＴ条件．寻找最优的乘子＾使得ｑ（Ａ），ｕ（＾），屿（Ａ）满足剩余的这两个ＫＫＴ条件则是本小节的主要任务．求解非线性方程ａＤ／ｏｘＪ—Ａ锄／知，＝０，如果＿ｊ（＾）２００４年上海大学硕士学位论文９可以表示成Ａ的显式形式，则把其带入上面的三个式子，得到（ＣＰ）的最优解．否则，就要多次寻找非线性方程的根，增加了算法的困难程度．令”表示最优的拉格朗日乘子，如果ｒ＝０，则很容易得到（ＣＰ）的最优解，否则，单一的非线性约束就没有了松弛即∑％１毋（ｑ）＝ｂ且忽略掉变量的上下界，相应的松弛问题比（ＣＰ）更容易求解．由此形成了变量固定（ｐｅｇｇｉｎｇ）算法，见（ｆ１３】）．算法每迭代一次都会将一些不满足上下界约束的变量固定为其下（上）界，这样就减少了下次迭代时要解决问题的规模．当所有没被固定的变量都满足其上下界时，算法在有限步内终止．２．１．２．解整数变量问题本节介绍的是一种分支定界算法．算法开始利用上面介绍的方法求解连续松弛问题（ＣＰ）．在分支定界法的每次迭代序列中，会产生并要懈两个子问题．如果某个子闻厨的解中有分数变量，则选中此问题进行分支，同时我们可以称这个被选中的子问题为“父问题”．假设在“父问题”的馋中第ｋ个分量ｚ：是分数．把ｚｋ≤ｔｚｌＪ加到“父问题”的约束中就构成了。左子问题”，同样的，把Ｘｋ≥ｆｚ：１加到“父问题＊的约束中就构成了。右子问题”．每进行一次迭代，在保留下来的连续子问题的最小的日标函数值作为（ＮＫＰ）最优值的一个上界。而任何一个带有整数解的予问题的目标函数值都可以作为（ＮＫＰ）的—个下界．能达到最大下界值的整数解作为当前最好解．此处用标准的去除原则从“树”上消除一些分支．如果（ＮＫＰ）的目标函数值的下界等于上界，或者“树”上的所有节点都被去掉时，算法终止．§２．２动态规划算法动态规划就是把有ｎ个变量的决策问题转化成ｎ个单独变量问题的技巧．这样，ｎ个变量的决策问题就被构造成一个顺序求解各个单独变量的ｎ级序列决策问题．动态规划是以“最优性原理”为基础的，它对决策问题能给出一个精确的解．动态规划的“最优性原理”是由Ｂｅｌｌｍａｎ于１９５７年提出的：“一个最优策略具有这样的特性，即无论初始状态和初始决策怎样。剩余的决策对初始决策所产生的状态来说必须构成一个最优策略．”涉及动态规划问题的关键元素是级，状态，奂策，变换和收益．一个物理的操作的或概念化的系统，可以看作是按一系列顺序的级而向前发展的．在每一级，系统可以用一相对来说较小的参数组来描述或表征，这些参数称为状态变量或状态向量（简称状态）在每一级，不管系统处于什么状态，都要做出一次或多次决策，这２００４年上海大学硕士学位论文ｌｏ些决策可以依赖于级或者状态，或者二者均依赖．当做了一次决策后，会得到一个收益，同时系统经历了一次变换或转移，到达下一级．按级发展的过程的总目标是使状态和决策变量的某个函数最大或者最小化．我们将研究的问题（ＮＫＰ）看作一个多级决策过程，其状态变量和状态变换给出为：＾＾一１＝＾＾一９ｋ（。＾）．６１（Ａ１）。悖．≤黑讯岫。｝，ｌ（。Ｉ），ｋ（ｈ）２ｋ！。。蛐ｍａｘ恻√＾（。ｋ）＋¨（扎一ｇｋ（ｘｋ））ｍ＝２…，ｎ）一般来说，肌（ｚ々）为非线性函数，所以必须用数值方法求ｈ—ｇｋ（ｘ女）＝０的§２．３ＤＰ＆ＢＢ混合算法本节给出了一个新的方法求解可分的整数规划问蹶．这个方法是动态规划（Ｄｙ－Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ）和分支定界（ＢｒａｎｃｈａｎｄＢｏｕｎｄ）的结合．定义ｈ（６）为：＾。（６）＝ｍａｘ∑疗（ｑ）（２３．１）Ｊ＝ｌｎｓ．ｔ．∑９ｊＣｚｊ）ｓｂ，Ｊ＝ｌｘｊ∈毋，Ｊ＝ｌ，…，ｎ，０ｓｑｓｕｊ，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ｝考虑第≈阶段的情况：Ⅳ“（６）＝ｍａｘ∑，Ｊ（ｑ）（２３２）Ｊ。１ｋｓ．ｔ．∑毋（ｑ）≤６，Ｊ。１ｑ∈ｓ』，Ｊ＝ｌ，…，≈．利用上面的状态变换和“最优性原理”。我们能迅速的导出递推公式：其中靠为ｋ—ｇｋ（ｘｋ）＝０的根，根．除了这一点所引起的不太大的复杂化之外，可以利用上面给出的递推公式计算ｈｋ（Ａｋ）和ｘｋ（Ａｋ）的表格，然后得到原问题的最优值和最优解．ｎａｍｉｃ其中岛＝｛巧ｆ２００４年上海大学硕士学位论文注意到ｈ（６）就是（ＮＫＰ）的最优值，我们的目标就是计算数列｛札（ｂ）｝，（≈：１，…，ｎ）．这些公式和迭代的最优化称为动态规划方法．令《表示（２３．２）的可行解的一个子集．一个可行解ｚ∈．《称为被另一个可行解ｚ７∈《占优（ｄｏｍｉｎａｔｅｄ），如果满足下面的条件：ｋｋ∑ｇｊＣ弓）ｓ∑毋（叶）Ｊ２ｌｊ＝ｌ和ｋｋ∑厶（《）≥∑矗（町），ｊ＝ｌｊ＝ｌ且在这两个不等式中至少要有一个是严格不等式．如果。∈《不霰《中的其它任何元素占优，则我们称ｚ关于《是有效的（ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ）．令雒表示（２．３．２）的所有有效解的集合．问题（２．３．１）的所有有效解的集合碍可以由下面的公式迭代丽得；西∈Ｘｆ∈Ｘ？＝Ｓｌ且ｘ￡￡ｘｆ∈础＝ｘ￡一ｌｘ＆，≈＝１，…，ｎ其中ｘ２之（（茹１，．．，茁ｋ一１，ｚ女）ｌ（。ｌ，…，ｚ≈一１）∈ｘ毒一ｌ，士ｋ∈鼠）ｂＸｆ＝如∈ｘ２Ｉ∑毋（町）≤６）），Ｊ２ｌ鬈＝｛￡∈ｘｆＩｚｉｓｅｆｆｉｃｉｅｎ￡＂溉ｒｅｓｐｅｃｔｔｏ《）．如果牙∈霹且∑≥ｌ毋（弓）＝万，则虿是（２．３１）的一个最优解，其中ｂ由万代替．这个结论可以由占优的定义直接得出，所以寻找（２．３．１）右端项为６时的所有有效解就等价于寻找右端项为ｂＩｓｂ时的所有最优解．找到ｊ《的程序可以简单的描述如下：动态规划方法第一步；设ｋ＝１，科＝Ｓｌ第二步：从硼中消去不可行点构造成．础２００４年上海大学硕士学位论文第三步：从ｘｆ中消去所有被占优的点构造成磺．第四步；如果ｋ＝ｎ，终止．否则令ｋ＝ｋ＋１，ｘ２＝Ｘ≈一１ｘ岛，转第二步．第二步中的可行性判断是—个简单的事情，即检查需要的资源数量是否超过可用的资源数量．第三步中的占优判断有点复杂，但是通过（［７Ｊ）中的链式表，就可以把此步有效的解决．当算法终止的时候，我们就得到了（２．３．１）右端项为ｂ’茎ｂ时的有效解集蟛和相应的最优值：ｎｎ，ｎ（∥）＝ｎｌａｘ｛∑ｆｊ（ｘｊ）Ｉｚ∈群，∑卯（勺）≤ｂＩ）．ｊ＝ｌ』＝ｌ注意到最优收益函数矗（∥）是一个在０兰ｂ’≤ｂ上非减的上半连续分段函数．由于这个动态规划方法寻找的是每个右端项为∥≤ｂ时的所有的最优解．现在我们把注意力集中在如何求解右端项为ｂ时的最优解．我们借助于分支定界法来完成这个任务．考虑Ｖｚ＝（轧…，ｘｋ）∈雄，令卢＝∑名ｌ９』（ｚ』）．我们把卢记作部分解ｚ所消耗掉的资源．对于给定的ｚ∈雄，在第ｋ阶段的剩余问题（ｒｅｓｉｄｕａｌｐｒｏｂｌｅｍ）为：ｈｋ＋ｌ（６一卢）２ｊ：帆ｍａｘ，。矗（即）（２删ｓ．ｔ．∑毋（ｑ）≤ｂ一反ｊ＝ｋ＋ｌｚｊ∈岛，七十１≤Ｊ≤ｎ．这样，假定已经消耗掉资源口，则剩余问题的最大收益就是巩＋ｚ（６一卢）．对所有的０ｓｋｓｎ一１，令ＵＢｋ＋１是函数万的一个上界，即瓦＋ｌ（ｂ一芦）≤ⅣＢｋ＋ｌ（６一口），Ｖ０≤卢≤ｂＵＢ≈＋１可以是（２．３３）任一松弛问题的值．而（２．３１）的任何一个可行解都可以得到＾。（６）的一个初始下界．已经知道的最好的解称为当前解（ｉｎｃｕｍｂｅｎｔ），其相应的最优全解不可能比当前解更好，此时称。由界去除．在第ｋ阶段耀中余下的元素记为雄，即．磺＝扛∈ｘ￡Ｉ∑；：１矗（ｑ）＋ＵＢｋ＋Ｉ（ｂ一∑％ｌ毋（ｑ））＞ＬＢ｝．利用启发式算法可以找到更好的可行解，使得下界改进．如果。’＝（。：。．，ｚ：．）是由启发式算法找到的可以与ｚ＝（％．，“）∈．磙构成一个完全解，且满足￡笔ｌ矗（ｑ）＋∑饕ｋ＋ｌ疗（ｚ；）＞工Ｂ，值就可以作为当前的一个下界即工Ｂ．上面的提到的上界和下界可以用来去掉一些部分解．如果对ｒ∈．磺，有∑；：ｌＩｊ（ｚｊ）＋ＵＢｋ＋ｌ（６一∑；：ｌ毋（ｑ））≤ＬＢ，则由。组成的完２００４年上海大学硕士学位论文１３则（ｚ，一）就可以作为更好的当前解．在第ｋ阶段我们知道＾。（６）落在ＬＢ和全局上界ＵＢ＝ｍａｘ—．Ｊｋ：Ｉ厶（ｑ）＋ＵＢｋ＋ｌ（ｂ一∑；：ｌ毋（ｑ））１。∈．醒）之间．如果间隙（ＵＢ—ＬＢ）非常小，算法就可以终止．为了把分支定界法加入动态规划程序里面，必须重新定义雄为有效解集的一个子集和础＝．碓一ｌ×鼠，＾＝２，…，ｎ．令风＋ｌ（６一口）表示（２．３．３）的最优值，ｆ表示解的近似程度．这个混合算法可以描述如下：ＤＰ和Ｂ２－，Ｂ算法第一步：设ｋ＝１，ｘ｝＝ｓｌ，ＬＢ＝日１（６），ＵＢ＝ＵＢＩ（６），选择Ｅ∈【ｏ，１】，Ｌ≥１．如果ＬＢ＝ＵＢ，终止；否则转下一步．第二步：从碑中去掉所有不可行点构造ｘｆ．第三步：从《中去掉所有被占优的元素构造雄．第五步：构造雄＝｛ｚ∈雄Ｉ∑名ｌ疗（ｑ）＋ＵＢｋ＋１（６一∑凳１毋（ｑ））＞ＬＢ｝．ｍｉｎ｛ＵＢ，ＵＢ，｝ｚ∈雄｝，ＬＢ＝§２．４拉格朗日对偶和区域割方法由于函数，和ｇ具有可分性，相应的拉格朗日松弛问题就简化为解ｎ个一维的第四步：如果Ｉ雄ｌ兰Ｌ设雄＝雄，转第九步．第六步：令ＵＢ７＝ｍａｘ｛∑；；ｌ厶（ｑ）＋Ｕ凤＋１（６一∑％ｌ毋（ｑ））ｌ。∈雄），且ＵＢ＝第七步：令ＬＢ’＝ｍ“（∑譬ｌ矗（％）＋凰＋１（６一∑譬１鲫（≈））Ｉｍａｘ｛ＬＢ，ＬＢ％如果有必要就改进当前最好值．第八步：如果（ＵＢ—ＬＢ）／ＵＢ≤ｆ，终止．当前解充分接近最优解．第九步：如果ｅ＝ｎ，终止，否则揣包含一个最优懈或者当前解是最优解。或者设ｋ＝ｋ＋１，础＝榷一】×Ｓ。转第二步．此算法综合了动态规划法和分支定界法，比较经典，但不是很有效．最大化问题．关键问题就是构造一个比较有效的算法寻找最优的拉格朗日乘子．为了降低松弛问题和原问题之间的对偶间隙，我们从区域中去掉某些个箱子，函数的单调性保证被去掉的这些箱子不会包含最优解，余下的区域仍然可以表示成箱子的并集，这使得接下来的松弛问题也是非常容易求解．当对偶间隙为零或者剩下的区域中没有可行点时，算法终止．运用ｓｔｌｒｒｏｇｔｔｔｅ技巧和次梯度法，可以用此方法来求解多约束的非线性整数规划问题．２００４年上海大学硕士学位论文１４２．４．１．拉格朗日对偶本节将要介绍含有单约束的整数规划问题的拉格朗日对偶问题的特性，给出扰动函数和拉格朗日对偶之间的关系．考虑单约束整数规划：（Ｐ）搿｛ｍ）ｌｇ（ｚ）９），其中，和目都是Ｒ“上的连续函数，ｘ是任意的包含有限个整数向量的集合．问题（Ｐ）的拉格朗日函数定义如下：Ｌ（ｚ，＾）＝，（ｚ）一Ａ（ｇ（Ｔ）一６），Ａ≥０．则（Ｐ）的拉格朗日松弛问题为：（工＾）ｄ（＾）２ｍ。∈ａ．ＹｘＬ（。，＾）·令Ｓ＝｛ｘ∈Ｘ｜ｇ（ｚ）≤６），，’＝ｍａｘｘ∈ｓ，（。），弱对偶定理总是成立（ＷｅａｋＤｕａｌｉｔｙ）：ｄ（Ａ）≥，（ｚ），Ｖ￡∈Ｓ，＾≥０．所以对所有的＾≥０，有ｄ（＾）≥，＋．问题（Ｐ）的拉格朗日对偶问题为；（Ｄ）咖４（＾）假设Ｓ≠０，ｘ＼ｓ≠０，则（Ｐ）的扰动函数为；ｕ（Ⅳ）。搿｛ｍ）Ｊ州≤Ⅳ），”∈Ｒｕ的定义域为Ｙ＝【１，十。。），其中１＝ｍｉｎ。∈ｘ９（ｚ）．很容易看出，函数“Ｊ在ｙ上单调不减．由于Ｘ中仅存在有限的点，则Ｙ中也存在有限个点ａｉ∈ｈ，＋。。）Ｏ＝１，…，ｋ）使得ｕ有显式表达式：＾，０１≤Ｙ＜ａ２，２，啦≤Ｙ＜ａ３叫（Ⅳ）＝＾一ｌ，ａｋ一１≤Ｙ＜ａｋＡ，‰≤Ｙ＜ｏｏ，２００４年上海大学硕士学位论文１５其中１＝ａｌ＜ａ２＜…＜ａｋ，且＾＜，２＜··＜Ａ．令圣＝｛（ｑ，厶）Ｉｊ＝１，．．．，研．垂中的点可以定义为ｕ的角点（ＣｏｒＤ．ｅｒｐｏｉｎｔｓ）定义ｕ的上包络函数为最小化一个由ｕ所引导的凹函数：皿（ｇ）＝ｍｉｎ｛ｈ（ｙ）ｌ＾ｉｓｃｏｎｃａｖｅｏｎｙｔｈ（ｙ）≥ｕ（雪），Ｖ口∈ｙ｝．由于ｕ是ｙ上的单调非减函数，所以函数口也是Ｙ上的一个单调非减函数很明显，皿是具有如下形式的一个逐段线性函数ｔ，』．＋∈１０一ａｊ。）町１≤Ｙ＜ａ，ｈ，Ｊ：＋∈２（Ⅳ一ａｊ２）ｎＪ２≤Ｙ＜ａｊｓ皿（掣）＝厶Ⅳ一１＋｛Ⅳ一１（Ⅳ一ａｉＮ—１）ａｊⅣ一ｌ≤Ｙ＜ａｊⅣ，厶ⅣａｊⅣ兰Ｙ＜ｏｏ，其中，１＝ｊｌ＜Ｊ２＜·＜如且靠＝垒ｇＪｋ吐＋ｚ－ｇｊ，。，≈＝１，…，Ⅳ一１．由ｍ的函数线性性，我们有：田（Ⅳ）２＾ｒｍａｉｎＲ＾Ｙ＋７（Ｊ）Ｓ，ｔ．＾ｑ＋１≥，Ｊ，Ｊ＝１．．．．．ｋ．对任意固定的Ⅳ∈Ｙ，可以引入约束Ａａｉ＋１≥厶的对偶变量脚≥０，Ｊ＝ｌ，…，ｋ．问题（Ｉ）的对偶问题为：ｋｍ（Ⅳ）＝ｍａｘ∑心，Ｊ（ｊ，）Ｊ２１＾∑脚ｑ＝＂１Ｊ２ｌｋ∑如＝１，蜥≥０，Ｊ＝１，…，ｋｄ＝ｚ定理２．４．１令（Ａ’，１＋）和矿分别是倒和口珂的最优解，且Ｙ＝ｂ，则例Ａ‘是对偶问题ｒ驯的最优解且Ⅲ（６）２ｍ＾＞ｉｎｏｄ（Ａ）２ｄ（Ａ＋）倒对于任意的ｚ，ｆ‘：＞０，如果哥∈Ｘ满足（ｇ（面），，（暮））＝（ｎｉ，＾），则ｉ是拉格朗日松弛问题（工＾．）的一个最优解．２００４年上海大学硕士学位论文１６证明：见（［４】）．定理２．４．２Ⅲ设Ａ‘是ｆＤＪ的一个最优解，则（Ｌ”）至少存在一个可行最优解．而且如果ｄ（Ａ‘）＞，＋，则（Ｌ”）至少存在一个不可行解．ｆ印如果对某个ｒ≥０，同时能得到的一个可行解和一个不可行解，则Ａ＋是对偶问题俐的一个最优解．证明：见（㈤．２．４．２．对偶搜索程序由上面的理论，［４】中构造了一个程序来求解（Ｄ），且此方法是有限收敛的．其几何意义可以表示为：这个程序在每个循环中都访问到扰动函数ｕ（Ⅳ）的角点，最终得到拉格朗日乘子的最优值，即在皿（Ⅳ）的图象中与直线Ｙ＝ｂ相交的那个线段的斜率．此程序的起始点是在壬中找到最低的角点（ａｌ，＾）和最高角点‰，＾），每进行一次迭代就要解一次拉格朗日松弛（以），其中Ａ是一条直线的斜率。这条直线连接两个点：一个是当前最好的可行解，另一个则是离可行点最近的那个不可行解所代表的点，并且随着迭代步数的增加，直线连接的这两个点之间的距离越来越小，即对偶间隙越来越小．２．４．３．拉格朗日对偶和区域割方法假设”是对偶问题（Ｄ）的最优解．众所周知，松弛问题（Ｌ”）的所有最优解可能都不是原问题（Ｐ）的最优解，即对偶间隙一般都会存在的．为了降低对偶间隙和利用对偶搜索找到（ＮＫＰ）的最优解，利用ｆ（ｘ）和９（２）的单调性，可以得到一个区域割方法（这个将在第四章具体的介绍）．将对偶搜索程序和区域割方法结合在一起，可以得到一个收敛的拉格朗日和区域割算法．算法首先把对偶搜索程序运用到（ＮＫＰ）以得到一个最优对偶乘子以及一个可行解和—个不可行解，记住可行解。在原来的区域中去掉包含这两个可行解和不可行解的整数箱子，并把余下的区域写成多个整数箱子的并集．在第ｋ步迭代中，方法类似，只是把当前最好的可行解最为当前最优解，相应的当前最优目标函数值作为厂的一个下界，而此时的对偶最优值就是，‘的一个上界．为了防止割去箱子以后的子箱子数目增加太多，可以利用弱对偶定理去除一些箱子：这些箱子上的对偶值不超过当前最优解．在每次迭代过程中，要么当前最优解是原问题的最优解，要么（或同时）某些最优值仍在余下的区域中．当上界不超过下界或者余下的区域是空集时，算法终止．具体的算法见（【４１）第三章凸背包问题的０－１线性化方法本章考虑凸背包问题（ＣｏｎｖｅｘＫｎａｐｓａｃｋＰｒｏｂｌｅｍ）：ｎ（ｃｖｇＰ）ｍａｘＥ厶（ｑ）Ｊ＝ｌｎｓ．ｔ．∑ｇｊ（ｘｊ）冬ｂ，Ｊ。ｌ如≤ｘｊ≤％，ｚｊｉｎｔｅｇｅｒ，ｊ＝ｌ，．ｔ“其中五是非减的凹函数，毋是非减的凸函数，ｑ是决策变量，０和吩分别为勺的下界和上界，不失一般性ｆ，和ｕ，均为整数，这里Ｊ＝１，…，ｎ由于凸背包问题的目标函数是凹函数。约束函致是凸函数，我们可以把函数厶和ｇ，作一个逐段线性逼近变换，将（ＣＶＫＰ）转化成—个等价的ｏ－ｌ线性背包问题，然后通过解这个ｏ－１线性背包问题就可以得到（ｃＶＫＰ）的最优值和最优解。这种方法我们称之为ｏ．１线性化方法．这个方法是Ｍａｔｈｕｒ（１３３】）解二次背包问题方法的一个推广，在㈣）中有此方法酌详细分绍。但是设有数值实验结果．由于这里要解０－ｉ背包问胚，本章介绍了一些求解０．１线性背包问题的算法，最后给出了凸背包问题的０－１线性化方法的数值结果．§３．１０－１线性化本节介绍把（ＣＶＫＰ）转化成一个等价的ｏ．１线性背包问题的方法．令ｚｊｋ＝西（≈），其中０≤≈≤ｕｊ．定义一个逐段线性函数ｈｊ（ｚｊ），其断点为｛ｚｊｋ，ｆＡｋ）｝，≈＝｛Ｊ，ｆＪ十１．．．，ｑ，函数ｂ（勺）的图像见图（３．１）．定义集合刁＝｛≈ｋ，ｋ＝０，０＋ｌ，．．，ｕｊ｝＝｛ｇｊ（１ｊ），９ｊ（１ｊ＋１），…毋（ｑ）｝，ｊ＝１，．，ｎ．则凸背包问题（ＣＶＫＰ）可以写成下面的等价形式：ｔｌ（ＥＰ）ｍａｘＥｈＡｚ，）ｊ＝ｌｓ．ｔ．∑刁≤ｂ，ｊ＝ｔ≈∈乙，Ｊ＝ｌ，…，ｎ．１７２００４年上海大学硕士学位论文１８叱”俨即ｇｉ（ｋ）ｇｊ（ｋ＋１）ｚｊ图３１：函数ｈＡ２ｊ）引理３．１．１凸函数的差分是非减的．即若ｇ（ｘ）是Ｄ上的凸函数，ｚｏ＜Ｘｌ＜ｘ２且ｇ（ｘ２）丛型，Ｌ！ｆ墅２—Ｘ２７ｌｏｌ—Ｚ０证明：设Ａ＝；；暑等，１一＾：署焉，则０＜＾＜１且ｈ。十（１。）一纛射篡一ｚ·因为９（ｚ）是Ｄ上的凸函数，所以删＝９［慨＋（１刊珈】蛐（㈦＋（１－蝴啪２篡９（。：）＋篡删变形得纛№）一㈣】≤鬟№）一州即止止！幽ｓ型．ｑ（ｘ１）ｊ’ｌ—Ｚ０Ｘ２．Ｆｌ这说明了凸函数的差分是非减的．命题得证引理３．１．２凹函数的差分是非增的．证明：同上．定理３．１．１函数ｈｊ（ｚｊ）是一个非减的逐段线性的凹函数，其中ｇｊ（１ｊ）≤ｚｊ≤卯（“，）２００４年上海大学硕士学位论文１９证明由于＾，（ｚ，）是一个逐段线性函数，只需说明其每段的斜率是单调不’震∞即可．由于，，是凹函数，由引理（３．１．２）知差分是非增的，即对固定的Ｊ∈｛１，２，，ｎ｝，，Ｊ（女＋１）一ｆ／ｋ）ｓ疗（≈）一办（≈一１）：同样的，ｇｉ是凸函数，由引理（３．１．１）知其差分是非减的，即对固定的Ｊ∈｛ｌ，２，．，ｎ），卯（≈＋１）一ｇｊ（ｋ）≥，ｑｊ（ｋ）一ｇｊ（ｋ—１）．这样吗的斜率ｓｊ≈＝箝苷ｊ！｝；高随ｋ的增加而非Ｉ臀结论得证．注意到集合蜀的元素可以用下面的式子来表示：９ｊ（Ｉｊ）＝ｍ（ｆＪ）．毋（ｆＪ＋１）＝．ｑｉ（１ｊ）＋【∞（ｆＪ＋１）一．ｇｉ（１ｉ）所（“，）＝．ｑｊ（１２）十【９ｊ（１ｊ＋１）一目Ａｚｊ）！＋‘十【乳（ｕＪ）一ｇｉ（ｕｊ一１）Ｉ－用归纳法，这些式子可以用一个通项表示集合乃中的元素：Ｉ∑翟｛，十ｌｂ（ｉ）一仍（ｚ一１）１ｗｉｊ＋ｎ（２，）毋（ｚＪ）＝｛Ｗｉｊ∈｛０，１），ｉ＝ｆＪ＋１…，～ＩｉｆＷｌｊ＝０，ｔｈｅｎＶｋ＞ｉ，ｗｋｊ＝０其中ｑ∈坞．１ｊ＋１…．，～），Ｊ＝１…．１＂Ｉｔ．Ｎｆ４创ｊ乃（ｑ）也可以表示这样的形式：｜∑翟１１＋１［矗（ｚ）一疗（ｉ一１）１ｔＯｉｊ＋，Ｊ（０），』（ｑ）一｛ＩＣｉ，∈（０，１｝，ｉ＝Ｉｊ十ｌ，…，ｕ』ＩｊｆＷｉｊ＝０，ｔｈｅｎＶｋ＞¨Ｉ？¨＝ｏ其中ｑ∈蚂，ｆＪ十ｌ，．．ｔＩＪ｝，＝１一．ｒ１．令Ｐｕ＝厅（，）一，ｊ（７一１），心，＝∞（，）一ｙ一一１），这样（ＥＰ）也就是（ＣＶＫＰ）可以写成下面的等价形式：¨ｕｒ，｝∑∑ｎ一。。十∑，』（１，）（３．１．１１Ｊ＝ｌｉ＝／ｊ十ｌＪ２ｌｎＵ，ｔｌ∑∑“ｉｊｗｉｓｂ一∑ｇａｂ），（３ｌ２）Ｊ＝ｔｉ＝ｌｊ十１Ｊ２１ｔｌ，＇ｉｊ∈ｆＯ，１｝，（３．１．３）ＶＬ｛ｗｕ＞０ｊｔ“｛。－＝ｌ，≈＜ｉ｝（３１．４）２００４年上海大学硕士学位论文由于奶（２，）是凹函数，贝６由（３１．１）一（３．１３）组成的（ＬＰ）的松弛问题的最优解必然满足式子（３１．４）．也就是说，式（３．１４）从（ＬＰ）中去掉之后，问题（ＬＰ）依然与问题（ＣＶＫＰ）等价，而此时由（３１１）一（３．１．３）组成的（ＬＰ）的松弛问题是一个典型的ｏ．１线性背包问题，故问题（ＣＶＫＰ）可以通过解一个等价的０－１线性背包问题获得最优解假设ｗ＋是松弛问题的最优解，问题（ＣＶＫＰ）的最优解设为ｚ＋，则我们有下面的关系ｚ；＝∑兰．。：ｕｊｊ十』，（７＝１，…．ｎ）问题（ＣＶＫＰ）的最优值等于松弛问题的最优值．接下来的任务就是求解０－１线性背包问题．§３．２０－１线性背包问题及其主要算法０－１线性背包问题是一种最简单的整数规划问题，其一般形式为（ｏ—ｔＫＰ）ｍ“∑乃≈Ｊ＝１ｓｔ∑叩Ｊ≤ｂ，ｑ∈（ｏ，１｝．Ｊ＝１，…，ｎ其中Ｘ，是决策变量．不失一般性，功．ａｉ．ｂ都是大于等于零的数．任何求解线性整数规划问题的算法都可以用来求解０－１线性背包问题（０－１ＫＰ），最一般的可以用来解背包问题的方法主要有以下四种：（１）隐枚举法（ｈｎｐｌｉｃｉｔＥｎｕ—ｍｅｒａｔｉｏｎ）（见ｆ２２］［２３１１２４ｊ｝２１ｍ（２）动态规划法（Ｄｙｎａｍｉ（ＰｌｏｇＩａｍｍｉｎｇ）（见｛１４１１１５１１１６１１１７】ｆ１８１［１＿９１ｆ２０ｉ）．（３）网络逼近法（ＮｅｔｗｏｌｋＡｐｐｔｏａｃｈｅｓ）（见【２８］［２９１１３０］），（４）增广的拉格朗日法（ＧｅｎｒｅａｌｉｚｅｄＬａｇｒａｎｇｉａｔｔ）（见【２５１［２６１１２７１）．而且当约束函数右端项ｂ的值很小的时候，动态规划算法的效果非常有效，但当ｂ很大时，存储量变得很大，用来解（Ｏ－１ＫＰ）的动态规划算法则显得很失败，而隐枚举法受ｂ大小的改变影响并不大．网络逼近法把背包问题转化成一个最短路问题：由于产生的网络规模太大，这个算法也不是很有效，这里将不给予介绍．我们这里也不介绍方法（４），因为只有我们考虑近似解的时候，增广的拉格朗日方法才能得以运用．由于动态规划对函数的系数有整数要求，这里分两种动态规划来讨论．３．２．ｉ．动态规划一此种算法要求（ｏ一１ＫＰ）的约束中变量的系数以及右端项全是整数，即ａｉ（ｊ＝１ｎ）和ｂ都是整数２００４年上海大学硕士学位论文２１令＾（Ⅳ）表示背包的容量为Ⅳ从前≈种物品中选择使得（ｏ、ｌＫＰ）取得的最大值，其中Ｙ＝０，１，．，６：＾＝１２…ｍ注意到＾（６）就是（Ｏ－１ＫＰ）的最优值，我们的目标就是计算数列｛Ａ（Ⅳ））．ｋ＝ｌ，．定义：∑ｐｊａ，Ｅ。ｊ．Ｔ％ｉｓ！Ｉ，Ｘｊ∈（ｏ．１｝，Ｊ＝１，…，ｋ从上面的式子中分离变量‰，女＝１，．．，ｎ．得到ｆＩｌｌａｘ麒９Ｊ＝。名茄｝ｍ。‘＋｛５‘，，、ｌ∑型ｐｊｘｉ∑譬：ｑ即≤Ⅳ一。ｋＸｋ，【。，∈｛ｏ，１）．Ｊ＝１…．，≈～ｉ其中缸“们一“卜囊嚣≥＿一。ｆ一∑ｊｋ－：ｌｐ声－｜ｎＬ一∑譬ｐｊｘ＞Ａ一·（Ⅳ一“ｎ）２ｍａｘ｛ｓｆ∑；二：ｃ。．。≤Ⅳ～ｎ＊，１．ｏ∈（ｏ．１｝，ｊ＝ｉ，．，≈一１这样得到了求解｛ｆｋ（Ｙ）｝的迭代公式式子（３，２５）说明假设在前ｋ种物品中选择，若在第≈项得到最优值，则余下的空间Ⅳ一毗必须在前ｋ一１中物品中得到最优配置，这就是动态规划的最优性基本原则．注意到初始条件为：川小｛，０。：：篡２００４年上海大学硕士学位论文利用前面的迭代公式，可以在有限步内找到最优值，，。（６）．为了寻找最优解，这里要用到一个示性函数：ｈｋ（Ⅳ）：｛０Ｉｌｉｆ＾（Ⅳ）３＾一１（ｇ），ｉｆ＾（Ⅳ）＞Ａ一１（Ⅳ）算法３．２．１第一步：ｋ＝１，如果０≤Ｙ＜ａｌ，则，ｌ（Ⅳ）＝０，ｈ１（Ｙ）＝ｏ；否则如果ａｌ曼Ｙ曼ｂ．则，ｌ（封）＝Ｐ１．ｈｉ（可）＝０转第二步．第二步：令ｋ＝ｋ＋１，对所有的Ｙ＜ａｋ有Ａ（Ⅳ）＝＾一ｌ（Ⅳ），ｈｋ（ｙ）＝０，此时令Ｙ＝ａｋ．转第三步．第三步：计算＂＝肌＋Ａ—ｌ（Ｙ—ａｋ）如果ｔ，＞＾～ｌ（Ⅳ），则令＾（Ⅳ）＝ｕ，ｈｋ（ｙ）＝ｌｉ否则＾（口）＝＾一ｌ（Ⅳ），ｈｋ（ｙ）＝０转第四步．第四步：如果Ｙ＜ｂ令Ⅳ＝Ｙ＋１．转第三步如果Ｙ＝ｂ，转第五步．第五步：如果ｋ＜ｍ转第二步；如果ｋ＝ｎ，转第六步．第六步：如果‰（Ⅳ）＝１．则。ｋ＝ｌ，设Ｙ＝Ｙ—ａｋ．如果ｈｋ（ｙ）＝０，Ｘｋ＝０，转第七步．第七步：如果ｋ＞１，令ｋ＝ｋ一１，转第六步；如果ｋ＝１，终止．算法最后一次执行第五步时就得到了问题的最优值＾。（ｂ），第六步和第七步是计算最优解．此程序会在Ｏ（ｎｂ）步内找到最优解３．２．２．动态规划＝此种算法要求（０－１ＫＰ）的目标函数中变量的系数全是整数，即Ｐｊ（Ｊ＝１，…，ｎ）都是整数令Ｆ，（一）表示在前ｙ个物品中选择使得目标值为，时必须装入背包中物品的最小的容积．对于这个算法，与前面的动态规划一方法类似，也是需要一个迭代公式列表，最终找到最优值．这个公式需要的边界条件即初始条件为：Ｂ（ｏ）＝０，Ｊ＝１…＿１．迭代公式：Ｅ（，）＝ｒａｉｎ｛弓一１（ｉ—Ｐｊ）＋ａｊ．毋一ｌ（ｉ）｝，其中．，＝１…．ｍｉ＝１，２…．结合边界条件，由迭代公式可以得到一个表格，把这个表格中的值按目标函数值的升序排列如下：Ｅｌ（１）．毋（１），…，Ｆ，。（１）：２００４年上海大学硕士学位论文Ｆｌ（２），最（２），．．，晶（２）：２３Ｆｌ（Ｐ＋），玛（Ｐ＋），…Ｒ（Ｐ４）一旦满足Ｒ（ｔ）＝ｂ的最大值一Ｐ‘出现，此算法戟终止，此时Ｐ。就是最大的ｉ，也就是目标函数的最优值．由于每个函数值都在０（１）步内完成，这里共需计算０（ｎＰ，）次函数的值，所以次算法的计算时间就是Ｏ（ｎＰ＊），３．２．３．隐枚举法当（０－１ＫＰ）的目标函数以及约束函数的系数都不是整数时，可以乘一个很大的数使系数变成整数，但是这样由动态规划构造的表格会需要很大的存储量，从而动态规划就不适合用来解此问题了，一种有效而又快速的求解此类问题的方法则是隐枚举法．最早的解（０－１ＫＰ）的隐枚举法是由Ｋｏｌｅｓｍ－提出的～种宽度优先（ｂｒｅａｄｔｈ．ｆｉｒｓｔ）的分支定界算法，由于这种算法需要很大的计算机内存和时间太长，Ｇｒｅｅｎｂｅｒｇ和Ｈｅｇｅｒｉｃｈ提出了一种深度优先（ｄｅｐｔｈ－ｆｉｒｓｔ）的分支定界算法，避免了上述弊端．最近Ｈｏｌｏｗｉｔｚ和Ｓａｈｎｉ等人在深度优先算法的基础上得到了一个更好的算法．目前很多人又对此方法进行了深入的研究和改进．这里介绍由Ｈｏｉｏｗｉｔｚ和Ｓａｈｎｉ提出的算法．在这算法中，要用到问题的上界（ＵｐｐｅｒＢｏｕｎｄｓ）．接下来就奔绍（０－１ＫＰ）的几种上界．假设在问题（０－１ＫＰ）中，所有的物品已按下列顺序排成一列：ｐｌ／ａｔ≥ｐ２／ａ２≥一ｎ。／ｎ。且令ｓ是满足约束∑；：ｌｑ≤ｂ的决策变量下标的最大整数．Ｄａｔｌｔｚｉｇ已经证明了下面的定理．定理３．２．１把似ＺＫＰ）中的Ｏ－１变量约束换成０≤ｚＪ≤ｌＵ＝１，，ｎ）后的松弛问题的最优解为：ｒＪ＝０，，＝１．，ｓ：．＿＝０，Ｊ＝ｓ十２．ｎ：％一ｌ＝（ｂ一∑“ｊ）／峨＋１２００４年上海大学硕士学位论文２４推论３．２．１ｕ口Ｌ＝∑ｊ：ｌＰｊ＋Ｌ（ｂ一∑ｊ：【ｎｊ）ｍ＋ｌ／叽＋ｌＪ是ｆｏ一』Ⅳ刊问题的一个上界值．Ｍａｒｔｅｌｌｏ和ＴｏｔｈＮｘ．Ｊ－Ｄａｎｔｚｉｇ的结论给予改进，得到（０－１ＫＰ）问题的一个更好的上界．定理３．２．２Ｂ１＝∑Ｐｊ＋Ｌ（ｂ一∑ｑ）阱２／ａｓ＋２Ｊ，ＳＢ２＝∑Ｐｊ＋慨＋ｌ一（ｎ¨一（ｂ∑ａｊ））ｐ。／ａ。ＪＪ２１则ＵＢ２＝ｍａｘ｛ＢＬ，Ｂ２）是（Ｏ－１ＫＰ）的一个上界．证明：由上面的排序假设和最大整数Ｓ知（０－１ＫＰ）的最优解可以由两种方法得到：不装入第ｓ＋１个物品和装入第ｓ＋１个物品．第一种情况很明显不会超过Ｂ１的值；第二种情况则必须从前ｓ个物品中去掉至少一个，Ｂ２是最好的可能值，假设要去掉的物品重量正好有最小值吼Ｈ一（６一∑：：ｌａｓ）则最差的值为ｍ／ａ，，所以Ｂ１，Ｂ２中最大的一个必然是（０－１ＫＰ）的上界．结论得证．定理３．２．３ＵＢ２≤ＵＢｔ证明：我们只霈ｉｉＩｉ明ＵＢｌ≥Ｂ１和ＵＢＬ≥Ｂ２即可．由于风＋Ｊａ。＋ｉ≥ｍ＋２／ａｓ＋２，所以前者是很明显的．为了得到后者，需要证明Ｓ＾（ｂ一∑咖阱ｌ／吣ｌ≥Ｐｓ＋１一（吣Ｉ一（６一∑町））ｐｓ／‰Ｊ＝ｌＪ＝１世！．就是（Ｄ一∑ａ２（ｐ”１／ａ州变形得由ｓ的特性我们知ｂ一∑；：１ｃ。一ｎｎｌ＜０，由排序的结果知ｐ，＋ｌ／ａ¨１一ｐｓ／‰蔓０．从而命题得证定理３．２．４令矿为满足∑ｊ：１“』ｓｂ一“Ｈｌ的最大整数，Ｂｊ＝阱Ｌ十∑Ｐｊ＋Ｌ（ｂ—ａｓ＋ｌｒ∑芦叶ｍ＋肛＋则ＵＢ３＝ｍａｘ｛Ｂ１．Ｂ３）是ｆＤ一』耳纠问题的一个上界且ＵＢａ≤ｕＢ２２００４年上海大学硕士学位论文２５Ｍｕｔｌｅｒ和Ｍｅｒｂａｃｈ通过另一种不同的方法改进了（Ｏ－ＩＫＰ）问题的上界ＵＢ２定理３．２．５令酊是定理何２』／中松弛问题的对偶变量的最优解，即孵＝Ｐｊ—ａｊｐｓ＋ｌ／ａ”ｌ，．，＝１，．，ｓ，圬＝一乃＋吩绺÷Ｉ／Ⅱｓ＋ｌ，Ｊ＝ｓ十２，一，ｎ．则ＵＢ４＝∑＋【（ｂ一∑ａｊ）ｐ¨／ｎ州Ⅷｌｉｎ｛（ｂ∑ｑ）Ｍｌ／吣·，ｍｎｉＹ；ＩＪ≠ｓ＋１））ＪＪ２１ｆ－．Ｊ３１是问题的一个上界注意到ＵＢ，ｌ不会大于ＵＢｌ，但是它可以大于等于，等于或小于Ｕ岛和ＵＢａ，这样可以从ＵＢ３和ＵＢ４取最小的那个作为（Ｏ－ＩＫＰ）问题的上界，而ＵＢ４的计算量要比ＵＢ２和ＵＢａ的大。Ｈｏｒｏｗｉｔｚ和Ｓａｈｎｉ提出了下面的程序，能够很快的得到（Ｏ－１ＫＰ）问题的最优解．算法中将会用到下面的符号：，，…Ⅲ。＝∑整。功ｑ．其中ｚ＝（ｘｌ，…．Ｘｎ）是当前得到的一个可行解；＾Ⅲ＝∑譬ｌｎ蚧其中Ⅳ＝（玑…．，Ⅳ。）是当前得到的一个最好解．算法３．２．２第一步（赋初值）：把ｎ件物品按ｐｊ／ａｊ的递减顺序排列．令Ｐｎ＋ｌ＝０，ｆｚｎ＋ｌ＝００，＾ｃｓｔ＝，＾“。｛ｗｒ＝０７＝Ⅳ＝０第二步（启发式测试）：如果ｒＩ，＞ｂ．令ｓ＝７—１：否则令ｓ是满足∑；；。ａｊ≤ｂ的最大整数，计算：＝∑：：，ｌｑ＋（６一∑：：。‘ｏ）儿十】／ｆ，什ｌ如果几“≥。＋，，。。。ｉｂｌｅ，转第五步；否则转第三步．第三步（构造一个新得当前解）：如果“。≤ｂ且ｉ≤ｎ，设ｂ＝ｂ一眦，，，。ｉｂｌ。＝，，…。ｏｋ＋ｎ，ｚ。＝１ｊｔ＝２一１．否则，如果“，＞ｂ且ｔ≤ｍ则设孔＝０，２＝｛＋１重复此步骤，如果ｉ＜ｎ．转第二步；否则ｉ＝儿重复第三步，转第四步．第四步（保留当前最好解）：如果＾。，ｆ＜，，。ｉｂｌ。则令＾。ｎ＝，，。。ｉｂｌ。，口＝。，令ｊ＝７２，且如果ｊ·。＝１设ｂ＝ｂ＋ｎ¨．，胁，ｉｂｌ。＝，，。㈣№一Ｐｒ。Ｘ，。＝０，转下一步．最优值为ｋｍ相应的Ⅳ为最优解；否则令６＝ｂ十ｆｔｋ…Ｙｓ。ｉｂｌ。＝，，…ｉｂｌ。一ｍ，ｚｋ＝０，第五步（返回）：寻找使Ｔｋ＝１且满足＆＜，最大的々．若没有这样的々存在，ｉ＝ｅ＋１，返回第二步．这个算法的主要步骤就是开始于通过第三步的迭代构造初始当前解，相当于令｛。：０时由定理：ｊ２ｌ得到的整数解．很明显这是一个深度优先的分支定界算法．２００４年上海大学硕士学位论文向前移动是指把满足∑笠－ｎ。．ｑｓｂ的最大的物品放入当前勰中，向后移动则是通过第五步把装入的具有最大下标的物品从背包中去除．当一个向前移动完成时，第二步将会判断进一步前移能否改进当前最优解；在执行第三步的时候，最后一个物品已经考虑过了，第四步判断是否需要改进当前最优解，如果是，当前最优解得到升级．算法会在无需进一步返回时终止．§３．３数值结果这节我们要用３．１节的０－Ｉ线性化方法来求解四类问题，给出数值结果，并与Ｐｅｇｇｉｎｇ算法和拉格朗目对偶和区域割方法做了比较．３．３．１．问题这里考虑四类凸背包问题：１）最小费用问题（ＣｏｓｔＭｉｎｉｉｎｉｚａｔｉｏｎＰＩｏｂｌｅｍ）Ｃ＾，ＰｊＬ∑ｃｊ（～一：。）Ｊ。ｌＳｆ∑１。ｇ（１一（１—７－））‘旷ｑ’＜６，Ｊ＝ｌ２７≤：ｏ）≤“，，ｏ７ｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，．．，ｎ２）二次规划问题（Ｑｕａｄｒ￡ｔｔｉｃＰｒｏｂｌｅｍ）（ＱＰ）ｍａｘ∑ｎ¨∑ａｊｚ。ｓｂ．Ｊ＝Ｉｆ，Ｓ．。ＪＳ“Ｊ３）系统可靠性问题（ｓ、－ｓｔ＠ｎｌＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙＰｒｏｂｌｅｎＳＲＰ）ｍ“∑Ｌｏｇ（１一（卜。矿。Ｆ１¨∑ｎＪ．＂Ｃｊ曼ｂ，Ｊ＝１ｆＪＳ．。Ｊ≤ｉ‘Ｊ，。Ｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ２１，···，“２００４年上海大学硕士学位论文４）分层抽样最优化配置问题（ｓｎａｔｉｆｉｅｄＳｍｎｐｌｉｎｇＰｒｏｂｌｅｍ）（ｓｓＰ）ｍ“∑一９／．ｏｊ＝１ｔｌｓｔ∑ａｊｘｊ】。ｉｓ６，ｂ≤。】Ｓｕｊ，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ耸１，…，礼．３．３．２．数值结果及结论本章提出的ｏ．１线性化求解凸背包问题的算法由Ｆｏｒｔｒａｎ９０编程，在奔腾４上运行的，计算结果在下面的表格（３１－３ＰＣ１０）中．在所有的计算例子中，ｆ，＝１，“，＝５，ｊ＝１…，ｎ，并设ｆ＝（ｆ¨．．，ｆ。），“＝（虬．ＵＴｔ）为保证问题存在可行解，约束函数的右端项设为ｂ＝ｇ（ｚ）＋ｒ（９（ｕ）一９（眺，ｎ）其中ｒ∈（０，１）其它参数选取如下（Ｊ＝ｌ，（ＣＭＰ）：ｅ５∈［１，５０］，ｒｊ∈【０．８．０．９８１；（ＱＰ）ｃｊ∈［ｉ００，３００］、ａ９∈【１１５０】，为保证单调性，ｂｊ＝”勺／（２ｕ，），，’∈（０，１）；（ＳＲＰ）：７０∈｛０，８，ｏ９ｓｌ，８』∈【ｌ，５０ｉ；（ＳＳＰ）：勺∈【２５，５０】．ａｊ∈【ｌ，５０】．这是一些对于０－１线性化方法来说比较容易求解的问题的参数取法，然而当函数的系数在很小的范围内随机产生时，由于隐枚举法优先考虑系数的比值而不注重系数本身的大小，使得此方法则变得异常不稳定，相应的函数系数取法如下，数值结果见表（３８）（ＱＰ）：白∈ｆ１００，ｎｏＪ．ｑ∈ｆ１２５。１３５１．为保证单调性，巧＝“ｊ／（２ｔ。），７。∈（０，１）在计算过程中，需要用到下面的符号：·ｎ＝变量的数目即问题的规模；·‰＝随机产生问题的个数；·』，ｍ，Ａ，ｍＡｃ，．ｑ＝分别表示最大，最小和平均值．４）表明四类问题的维数从１０００到７０００都可以迅速的计算出来，充分表ｆ３１．３表明了此算法的有效性．表（３．２）和表（３．５—３．７）的数据表明，随着ｒ即右端项ｂ的增加，问题的可行点增加，从而增加了问题的难度，计算时间也随之延长．比较表（３，Ｇ．３．９，３１０）知，Ｏ－１线性化方法解决问题的规模远远大于Ｐｅｇｇｉｎｇ方法和拉格朗日对偶和区域割方法，这就给我们下一章求解凹背包问题提供了一个有效的方法．２００４年上海大学硕士学位论文垂！：！！【壁坐里２鲤堑堡堕墨ｆ！＝！：！）ＣＰＵ时Ｉ司“唧Ｍｉｌｌ＾ＩａｘＡ”ｇ壹！：！！ｆ里里２塑塑堡堕墨业＝！：！》ＣＰＵ时间礼礼９ＭｉｎＭａｘＡｖｇ然而，由于解０－Ｉ线性背包问题用的是隐枚举法，它本身的“贪婪”性给一类问题造成了困难，从表（３．２）和表（３，８）可以看到到隐枚举法的不稳定性．其中Ｎｓ表示２０个问题不能在３个ＣＰＵ小时内完成，ＬＤＣ则是拉格朗日对偶和区域割方法的缩写．垂！：！！ｆ！垦旦！堕墼堕堕墨业二！：生ＣＰＵ时间７‘“”Ｍｉｎ＾ＩＭＡｖｇ２００４年上海大学硕士学位论文２９壅！：塑墼照堡墨业三！：盟ＣＰＵ时间“礼ｐＭｉｎＭａｘＡｖｇ垂！：鱼！！塑墼堡鳖墨（！：三！：１２ＣＰＵ时间“””ＭｉｎＭａｘＡｖｇ垂！：！！ｆｇ里）塑塑焦鳖墨（！：三！：！）ＣＰＵ时间““”ＭｉｎＭａｘＡｖｇ垂！：！！ｆ旦里）塑塑焦堑墨ｆ！：三！：１２ＣＰＵ时间”唧ＭｉｌｌＭａｘＡｖｇ２００４年上海大学硕士学位论文３０丧！：！！ｆ鱼塑笪墼笪堕墨业三！：ｊ）ＣＰＵ时间ｊｎＴｔ｜’ＭｉｎＭａｘＡｖｇ２塑墼焦堕墨（ｒ＝ｏ．７）ＣＰＵ时间““９ＭｉｎＭａｘＡｖｇ表３．１０！兰旦曼查羹墅ｉ鱼里２塑鍪焦堡墨寸＝ｏ．７）ＣＰＵ时间７１”９ＭｉｌｌＭａｘＡｖｇ表３．９．￡！ｇ坚竖查鎏墅Ｉ鱼１第四章凹背包问题的０ｍｌ线性化分支定界算法考虑凹背包问题（ＣｏｎｃａｖｅＫｎａｐｓａｃｋＰｒｏｂｌｅｍｓ）“（ＣＣＫＰ）ｉｎ３ｘ，（ｚ）＝∑屯（勺）Ｊ２ｌｎｓｔｇ（ｚ）＝∑９＿』（ｑ）≤ｂ，Ｊ＝ｌｚ∈Ｘ＝（ｂＳ。Ｊｓｕｊ，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，．．．，ｎ），凹背包问题在经济规模的最优化模型中经常出现．由于目标函数是一个凸函本章首先介绍了函数的线性逼近，然后又简要介绍了区域割技巧和整数规划中§４．１线性逼近令ｎ，，ｊ∈ｚ”，ｆ』≤ＯＪ≤ｊ屯≤“Ｐ其中“＝（ｏｌ、，ｎ。）口＝（口１．．．，岛。）考虑ＣＣＫＰ）的子问题：（５尸）ＩＩ）ｒ＇ＩＸ“小＝∑乃（。），＝ｌ㈧Ⅳ（。）：∑珊（．Ｆ．）ｓｂ，Ｊ＝ｌ＆Ｊ≤ｏＪＳ卢，．ｘ５ｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝ｌ，．，”３ｌ其中乃和毋都是非减的凸函数，ｑ是决策变量，０和ｕ，分别为ｑ的下界和上界，不失一般性１，和啦均为整数，这里Ｊ＝ｌ…，ｎ．数，其相应的松弛问题是一个全局最优化问题，不好求解．由于凹背包问题与凸背包问题的区别就在于目标函数的凸性，而我们知道在第三章中ｏ．１线性化方法求解凸背包问题非常有效，这里我们提出一个０－１线性化分支定界算法，即首先用一个线性函数逼近目标函数，构造一个目标函数是线性函数的凸背包问题，接下来利用第三章中的Ｏ－１线性化方法得到凸背包问题的最优值与最优解，且此时得到的最优值是原问题（ｃｃ，Ｉ（Ｐ）的一个上界，把得到的这个最优解带入原问题（ＣＣＫＰ）的目标函数中，就可以得到一个下界，结合分支定界方法和区域割技巧可以容易得到原问题的最优值与最优解．的分支定界算法，并给出了凹背包问题的０－１线性化分支定界算法，最后给出了数值结果２００４年上海大学硕士学位论文则在区间ｈ，』‘］上，Ｊ扛，）的上逼近凹函数为过两点（％，＾（％）），（岛，＾（口Ｊ））的一条直线：Ｌｊ（ｘｊ）＝，Ｊ（ｑ）＋ｓｊ（ｘｊ—ｎＪ），其中旷｛∥鬟线性逼近函数见图（４．１）所以／（ｘ）＝∑釜。疗（ｑ）在箱子陋，捌的上逼近凹函数可以３５｝塑ｏ¨：¨Ｏ２（１４０６０８１３１０。１２０１４０１５０１８０２００图ｑ１一“，）的线性逼近函数写为：Ｔ，““Ｌ（ｒ）＝∑与（ｑ）＝∑（方（ｎＪ）一ｓ，ｃｑ）＋∑ｓｊＸｊＪ＝１Ｊ＝ｌＪ＝１令ｓ。＝∑≈－（乃（ｑ）一ｓｊＱｊ），别我们就可以得到子问题（ｓＰ）的线性上逼近问题“Ｐｍ地∞＝｝严，量咖０＝乃＜一饥吖＜一Ｔ，印。∑岸≤毋。∑州渤。ｍ魄２００４年上海大学硕士学位论文３３其中ｓ，是Ｌ（ｘ）中ｚ，的系数，ｓｏ是Ｌ（ｚ）的常数项．由于＾是非减的函数，所以ｓｊ≥ｏ（ｊ＝１，…，ｎ）．再加上工，（ｚ，）是线陉函数即凹函数，从而知（ＬＳＰ）是一个带有线性目标函数的凸背包问题，接下来的任务就是把（ＬＳＰ）转化成一个等价的０－１线性背包问题来求解．事实上，如果．ｒ＋是（ＬＳＰ）的一个最优解，，＋是（ＣＣＫＰ）的最优值，则我们有，（矿）≤ｆ’兰Ｌ｛ｘ＋），即由线性逼近得到的问题的最优值是原问题的一个上界，而此时得到的最优解带入原问题就得到原问题的一个下界．这样可以利用分支定界方法逐步缩小上下界的距离，宜到找到原问题的最优值．为了尽快寻找到问题的最优解，这里用到了单调性和区域割方法．§４．２区域割方法令ｎ，口∈ｚ“，其中ｚ，ｔ表示”中整数点的集合，【ｎ，例表示由ａ，ｐ组成的箱子（ｈｙＩ）ｅｌ·ｒｅｃｔａｎｇｌｅ），即ｈ例＝缸ｌＯｅ。≤ｑ≤岛，Ｊ＝ｌ，…，ｎ）定义（ａ，卢）为陋，剜中整数点的集合：（ａ，ｐ）＝ＩＩ（０：９．日）＝（ＯＬｌ，０１）בｘ（ｏｍ口ｎ）．Ｊ：１集合（ａ，口）称为一个整箱子．为方便起见，如果ｎ菇卢，则定义ｈ口】＝（。，口）＝０．令ｋ（２ｈ，ｆ，，）、ｔ一（¨ｊ．．．¨．）则（ＣＣＫＰ）中区域ｘ的整数点就可以表示为（２，ｔ‘）由，。ｇｊ的单调性，我们有下面的结论：性质４．２．１如果Ｔ∈（２ｔ。）是（ＣＣＫＰＪ的一个可行点，则对Ｖ焉∈（１，ｚ）都有，（ｉ）≤，【ｚ），所以（２，ｉ）可以从（１，ｔ。）中去掉而不会丢掉ｆＣＧＫ引的任何最优解．下面的引理则说明（２，ｕ）＼（ｆ．Ｘ）可以分解为多个不相交的整数箱子的并集，从而可以在得到的每个小整数箱子上都可以解（ＬＳＰ），可以改善整个问题的上界与下界引理４．２．Ｉ令Ａ＝（ｎ口）且Ｂ＝（１．占），其中ｎ，口，１，６∈ｚ”且ｎ≤１曼ｄ≤卢．则－４＼Ｂ＝｛ｕ知。（Ⅱｊ，－。Ｉ（ｎ。６。）×（如＋ｌ，岛）×Ⅱ：：，＋ｌ（叫，觑）））ｕ｛ｕ等，（ｎ留（％以）×（ｎ，，∞一１）×ｎ５ｊ＋ｌ（。。，ｔ）））证明见（㈤例４．２．１“０，３）×（（１．∞｝＼｛（１．２ｊ×（１．∞）（０．：埘Ｕ“ｌ２）×《０．０”２００４年上海大学硕士学位论文§４．３整数规划中的分支定界方法考虑一般的整数规划问题：ＩＰ）ＺＩｐ＝ｍａ．ｘ｛ｆ（ｘ）：３２∈ｓ｝整数规划中的分支定界就是利用松弛等方法将问题的可行域Ｓ划分为一些子集（ｓｄ（ｊ＝ｌ…，≈）的形式，然后在这些子集上求解相应的规划问题，最终根据上下界得到原问题最优解的一种方法．定义４．３．１如果Ｕ名ｌ岛＝Ｓ，则称（岛，Ｊ＝１…，ｋ）是Ｓ的一个分割（ｄｉｖｉｓｉｏｎ）；如果Ｓｎｓｊ＝Ｏ（ｉ，ｊ＝１，．．，ｋ，ｉ≠Ｊ）．则称这个分割为Ｓ的一个剖分（ｐａｒｔｉｔｉｏ州．性质４．３．１令（ＩＰ’）４Ｐ＝ｍ≈ｘ｛ｆ（ｘ）：。∈岛），其中｛岛）÷：Ｉ是Ｓ的一个分割，则ｚｉｐ＝ｍａｘｊ：ｌ¨，＾。；Ｐ．此性质说明如果整数规划问题在可行域Ｓ上很难求解，且在更小的集合上比较容易求解，则可以把可行域进行分割，而且这个步骤可以重复进行，这样一个分割可行域的过程称为一个枚举树，对于给定的一个父结点如Ｓｌ，其子结点Ｓｌｌ，Ｓ１２，Ｓ１３就代表了它的一个分割．定义４．３．２假设ｓ被分离成子集｛Ｓｍ．瓯），如果确定ｓＪ没必要继续分离，则称Ｓ可以从枚举树中剪除，即分支定界中的剪枝．性质４．３．２在枚举树中，如果有下面三种情况中的一种发生，鱼都可以被剪枝：１，不可行性：Ｓ＝０：２，最优值性：得到了（，Ｐ）的最优值；３．值占优：在此结点得到的最优值小于原问题的当前最优解．下面给出一个最基本的求解整数规划（ＩＰ）的分支定界算法．其中工表示整数规划问题（ＩｐＪ）的集合，ｉ是原问题（，Ｐ）的下界，而ｉ，则是原问题（，尸）的一个上界算法４．３．１第一步（赋初值）：Ｌ：“，Ｐ）｝Ｓ）＝Ｓ．ｊｏ＝。。，！＝一。。第二步（终止标准）：如果Ｌ＝（ｉ】，则㈨如果！＞一。ｃ此时的下界ｉ就是原问题的最优值；ｒＷ如果ｉ＝一。ｃ．则Ｓ＝０第三步（问题的选择与松弛）：从￡中选择一个问题（』纠），考虑其松弛问题（兄纠），２００４年上海大学硕士学位论文３５如果松弛问题存在最优解．Ｆ名．相应的最优值为。女。并把此问题从Ｌ中减掉．ｇ四步（剪枝）：ｒⅡＪ如果：二≤ｉ，转ｇ二步；，＂如果砝《Ｓｊ，转第五步；俐如果ｚ南∈０且ｚ★＞ｉ．令！＝晶从Ｌ中去除所有ｚｊｓｉ的问题，如果。☆＝ｚｉ转第二步，否则转第五步．第五步（分支）：令（ｓｕ｝翟ｌ是与的一个分割，把一ｚｉｊ＝。ｈ（Ｊ＝１，…，ｋ）的子问题放入集合Ｌ中，转第Ｚ－步．§４．４０－１线性化矜支定界算法本节把Ｏ－１线性化和分支定界法结合起来，借助于区域割技巧，构造了一个求解非线性凹背包问题的算法．算法中要用到下面的符号：·．。㈣。表示当前最好的可行解；·＾。表示当前最好解相应的目标函数值；·ｎ表示有可能存在最优解的整箱子的集合；·ｘ‘表示在第≈次迭代中存在的整箱子的集合，算法４．４．１初始步ｒ峨初值Ｊ’如果．Ｂ＝ｆ对于（ＣＣＫＰ）是不可行的，则原问题没有可行解，终止．否则，令。‰￡＝ｆ，＾州＝，（。ｆｌｅ“），Ｘ１＝（１，Ⅱ），Ｙ１＝Ｘ１，Ｚ‘＝０ｋ＝１．第一步：陇性逼近／？考虑每个（ｄ，口）∈ｐ，如果ｇ（ａ）＞ｂ，则令Ｙ‘：＝Ｙ‘＼（ｏ，口）；如果ｇ（口）≤ｂ．则矿＝。｛且Ｌ（ｘ３）＝弹扩）＝，（ｐ）：否地通过用隐枚举法解（ｏ－ｔ即）以得到阻ｓＰ）的最优解令３。１是化ｓｐ）的最优解．如果，（矿）＞＾。ｍ设‰“＝，（矿），ｌｂｊ～ｔ２Ｚ＋第二步ｒ去除Ｊ？令ｊ）＝０】对于每个（ｎ，伪∈Ｘ。＝ＹｏｕＺ‘，如果Ｌ（ｘ３）＞＾“，令ｆ２：＝Ｑｕ（ｎｎ如果ｒ）＝０１终土，。“。ｆ是ｒｃ１ＣⅣ州的一个最优解．第三步件ｔＪ分与定界√ｊ令，㈧，，）表示在（吼ｄ）上解（ＬＳＰ）而得到的Ｌ（矿）的上界．选择（５．卢）∈ｎ作为获得最大值，，（“，口】的整箱子：＾２７’（ｉ、口）２（嬲｛７㈤疗）令砂＋１表示从ｎ中去除（ｄ，声）后的整箱子．令矿表示当＆＝ａ，口＝口时伍ｓ刊的最优解．Ｙ。＋１＝（ａ．西）＼（ａ，ｉ８）２００４年上海大学硕士学位论文３６利用引理“２．纠把Ｙ‘７１剖分成整箱子的并集的形式．设Ｘｋ＋ｌ：ｙｋ＋ｌＵＺｋ＋１．ｋ：＝ｋ＋１，转第一步．例４．４．１求解非线性凹背包问题：ｎｉｃｋ２ｘ｛＋ｚ】＋？；＋３ｘ２ｓｔ譬；＋３４ｘｌ＋２ｘ；＋１８２２≤１０９，０≤。Ｊ≤３，。Ｊｉｎｔｅｇｅｒ，．ｊ一１，２Ｓｔｅｐ０：令ｆ＝（ｏ，ｏ），¨＝（３，３）由于目（ｆ）＝０＜ｂ＝１０９，则令。‰ｃ’＝ｆ，＾。“＝，（。ｂ。“）＝０，Ｘ１＝Ｙ１＝（１，Ⅱ）＝（ｏ，ｏ）×（３，３），Ｚ１＝Ｄ，≈＝１．Ｓｔｅｐｌ：９（ｕｊ＿１８３＞ｂ＝１０９，则构造（ＬＳＰ）：（ＬＳＰ）ｉｉｌ＆ｘ７。１＋６ｘ２ｓｔｚ｛＋３４ｘ１＋２ｘ；十１８ｘ２≤１０９，０≤ｘｊ≤３，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，２．（０—１ＫＰ）ｍｇｘ７ｗｌ＋７［ｔ：２＋７ｗ３＋６ｔ１７４＋６ｗ５＋６ｗ６ｓｔ３５．’ｉ＋３７“１２＋３９ｗａ＋２０ｗ４＋２４ｉｖ５＋２８叫６曼１０９，ｗｉ∈｛０１｝，Ｊ＝１…．．６（ＬＳＰ）的最优解为矿＝（１，３），最优值为Ｌ（矿）＝２５，得到原问题的一个上界．把矿Ｓｔｅｐ２Ｌ（。。）＞＾“，转下一步．Ｓｔｅｐ３：构造ｘ２＝（ｆ，ｕ）＼（ｆ、＿５）＝（ｏ．ｏ）×（３３）＼（Ｏ，１）×（ｏ，３）＝（２，３）×（ｏ，３），解：把（ＬＳＰ）转化成一个等价的（０－ＩＫＰ）问题：利用隐枚举法得（０－１ＫＰｊ的最优解为ｗ５＝（１，０，０，１，１，１），最优值为。＝２５，故得带入原问题的目标函数，得一个下界，（扩）＝２１．因为＾Ⅲ＜ｙ（ｚｓ），则记＾。“＝ｆ（２９）＝２１，５５一＝一＝（１，３）．转下一步．转第一步２００４年上海大学硕士学位论文３７Ｓｔｅｐｌ：ｇ（２０）＜ｂ，９（３，３）＞ｂ，则构造（ＬＳＰ）（ＬＳＰ）ｍａｘ１１１１ｌ十６ｘ２一１２ｓｔ、。ｉ＋３４ｘｌ十２ｚ；＋１８ｘ２≤３７，巩∈（２，３），Ｘ２∈（０，３）．把（ＬＳＰ）转化成一个等价的（０－１ＫＰ）问题：ｆ０一ｌⅣＰ１ｍａｘ１１２０１＋６ｗ２＋６ｗａ＋６ｗ４＋１０ｓｔ３９ｗｌ＋２０ｗ２＋２４ｗ３＋２８ｗ４≤３７，ｗ，∈｛ｏ，１），ｊ＝ｌ，…，４利用隐枚举法得（０－１ＫＰ）的最优解为ｌ扩＝（０，１，０，ｏ），最优值为＝＝１６，故得（ＬＳＰ）的最优解为矿＝（２，１），最优值为Ｌ（：一）＝１６．得到原问题的一个上界．把ｘ８带入原问题的目标函数，得一个下界，（矿）＝１４Ｓｔｅｐ２：因为血“＞Ｌ（ｚ。），则ｎ＝０．算法终止，原问题的最优解为ｚｋ“＝（１，３），最优值为＾ｗ＝２１§４．５数值结果为了验证算法（４４１）的可行性和有效性，我们给出了两类凹背包问题的试验数值结果及结论．４．５．１．问题测试问题具有如下的形式：ｍａｘ几，）＝∑叩，＋“一１ｊ¨，ｑｓｆⅣ（ｚ）－∑”，＋”；≤ｂ、Ｊ＝１ｘ∈Ｘ＝（１ｊｓ．ｒＪｓｔ。，，：ｒｊｉｎｔｅｇｅｒ根据函数系数的选择，这里考虑了两类问题：（Ｐ１）：ｙ（ｘ）是凸二次函数，其中勺，ｄｊ＞０，ｅｊ＝ｏ（．ｊ＝ｌｎ）（Ｐ２）：，（ｚ）是三次多项式函数，其中ｃＪ，ｄｊ，勺＞ｏ（．７＝１ｎ）２００４年上海大学硕士学位论文３８在所有的测试例子中，』Ｊ＝１．ｑ＝５其它参数在以下区间中取值（Ｊ＝１，…，ｎ）：（ｐ１）：ｃｊ∈【１，３０】、呜∈［１，１０］，啦∈【１．７０】，％∈１０：１】；（ｐ２）：勺∈【ｌ，４０】吗∈［１，ｉｏ］，ｅＪ∈【ｌ，２０’’啦∈｛１，３００］，∞∈（１，ｌｏ］．为了保证问题存在可行解，约束右端项的取值为６＝ｇ（ｆ）＋ｒ（ｇ（¨）一９（２）），其中ｒ∈（ｏ，１）４．５．２．数值结果及结论此算法由Ｆｏｒｔｒａｎ９０编程，在奔腾４ＰＣ上运行的．数值结果在表格（４１．４．２）中，其中要用到下列符号：·ｎ＝变量的数目即问题的规模；·ｒｂ＝随机产生问题的个数；·Ｍｉｎ，Ｍａｘ．Ａｉ，ｇ＝分别表示最大，最小和平均值．本章提出的０－Ｉ线性化分支定界方法可以求解规模从２０到１４０的非线性背包问题，而且从表中可以看出此方法求解此类规模的问题还是比较快的．但是随着问题的规模的增加，在求解过程中产生的整箱子也随之增多，这就增加了内存的需求量．墨！：！！ｆ！１２塑塑堕堕墨壁三！：１２迭代次数箱子个数ＣＰＵ时间（ｓ）ｎ～ＭｉＩｌＭａｘＡｖｇＭｉｎＭａｘＡｖｇＭｉｎＭａｘＡｖｇ２００４年上海大学硕士学位论文３９壹！：里１２塑墼焦蕉墨（！三！：！！迭代次数箱子个数ＣＰＵ时间（ｓ）“７。”ＭｉｎＭａｘＡｖｇＭｉｎＭａｘＡｖｇＭｉｎＭａｘＡｖｇ第五章结论本文给出了ｏ＿１线性化方法求解非线性背包问题．利用函数的凸性以及单调性直接把凸背包问题转化为一个等价的ｍ１线性背包问题，利用隐枚举法或动态规划方法求解这个ｏ．１线性背包问题，就可以等到原问题的最优解和最优值．在『６１中给出了解央凸背包问题的ｏ．１线性化方法，但是并没有给出数值结果．本文不仅给出了ｏ，１线性化解凸背包问题的数值结果，而且还与Ｐｅｇｇｉｎｇ方法以及拉格朗日对偶和区域割方法做了数值比较，充分说明了此方法的优越性．凹背包问题目标函数是一个凸函数，不能直接将其转化成等价的０－１线性背包问题，且将变量整数约束去掉后的松弛问题是一个全局最优化问题，松弛问题则不好求解，基于这些困难和凸背包问题的０－Ｉ线性化方法的优越性，本文给出了一个ｏ。Ｌ线性化分支定界方法，具体做法是先用一个逐段线性函数逼近目标函数，得到一个凸背包问题，利用０．１线性化方法求解得到原问题的一个上界，同时可以得到一个下界，利用分支定界方法和区域割技巧，可以迅速找到凹背包问题的最优解，最后用数值例子说明了此算法的有效性．本文将来可做的工作之一是提出更好的方法来解决０－１线性化之后那些“难”的问题，另外一个工作是寻找更好的方法求解非线性凹背包问题，这方面的其它研究结果可以参看文㈨参考文献【ｌ】ＫＭＢｒｅｔｔｂａｕｅｒｇｉｌｄＢＳｈｅｔｔｙＴｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｒｅｓｏｔｌｒｃｅａｌｌｏｃａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅＨｌＯｐｔｒ．Ｒ∞一４３６７０－６８３１９９５（２】ＭＤｊｅｒｄｊｏｕｒ．ＫＭａｔｈｕｒ，ａｎｄＨＭＳａｌｋｉｎ．ＡｓｕｎｏｇａｔｅＩｅｌａｘａｔｉｏｎｂａ．ｓｅｄｏｎａＩｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒａｇｅｎｅｒａｌｃｂｘｓ，ｓｑｕａｄｒａｔｈｍｕｋＪ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｍｆｌｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍＯｕｓｔ．ＲｅｓＬｅｔｔ．，７：２５３—２５８．１９８８｝３１ＤＨｏｃｈｂａｕｍＡｎｏｎｌｉｎｅａｌｋｎａｐｓａｃｋ１）ｒｏｂｌｅｍ却“．ＲｅｓＬｅｔｔ．１７：１０３一ｌｌＯ，１９９５［４ｊＤＬｉ，ＸＬＳｕｎ，ｏ．ｕｄＫ＊ｋ＇ＫｉｎｎｏｎＡＣＯｌｗｅｒｇｅｌｌｔｌａｇｌａｎｇｉａｎａｎｄｄｏｍａｉ｛１ｃｕｔｍｅ地ｏｄｔ＇ｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓＴｅｃｈｎｉｃａｌｒｅｐｏｒｔ，ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ＆ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＭａｎａｇｅｍｅｎｔ，ＴｈｅＣｌｆｉｎｅｓｅＵｎｉｖｅｔｓｉｔｙｏｆＨｏｎｇＫｏｎｇ，Ｓｈａｔｉｎ，ＮＴ，ＨｏｎｇＫｏｎｇ，２００２ｓｕｂｍｉｔｔｅｄｉｂｒｐｎｂｌｉｃａｔｌｏｎ［５１ＲＥＭａｒｓｔｅｎａｎｄＴＬＭｏｒｉｎＡｈｙｂｒｉｄａｐｐｒｏａｃｈｔｏｄｉｓｃｒｅｔｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇＭａｔｈＰｗｇｍｒａ，１４：２１—４０，１９７８【６】ＫＭａｔｈｕｒ，ＨＭＳａｌｋｉｎ，ａｎｄＢＢＭｏｈａｎｔｙ．ＡｌｌＯｃｅＯｉｌａｇｅｎｅｒａｌｎｏｎ．１ｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓＯｐｅｒ。Ｒｅｓ．Ｌｅｔｔ．５：７９～８１，１９８６．吲ＴＬＭｏｒｉｎａｎｄＲＥＭａｒｓｔｅｎＡｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｎｏｌｌｌｌｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓＭｔｐｎｔＳｃｉ２２：１１４７—１１５８１９７６｛８］ＴＬＭｏｒｉｎａｎｄＲＥＭａｒｓｔｅｎＢｒａｎｃｈｌｕｌｄｂｏｔｍｄｓｃ＿ｒａｔｅｇｉｅｓｆｏｒｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇＯｐｅｒＲｅｓ，２４：６１１—６２７．１９７６１９】ＸＬＳｍｌａｎｄＤＬｉＯｐｔｉｍａ］ｉｔ３ｃｏｍｌｉｔｉｏｎａｆ）ｄｂｒａｎｃｌｌａｎｄｂｏｕｎｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ如ｒＣＯｎｓｔｒａｉｎｅａｔｒｅｄｌｌｔｌｄａｈｅｙｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｉｎｓｅＩｉｅｓｓｙｓｔｅｌａｓＯｐｔｉｍＥｕ９３：５３—６５，２００９ＷＣｏｏｐｅｒＳｍ、ｅ３。ｆｍｅｔｈｏｄｓｏｆｐｕｒｅｎｏｎｔｉｏｅａｌｉｎｔｅｇｅｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇＭｇｍｔＳｃｉ．２７：３５３—３６１，１９８１ｗＣｏｏｐｅｒＴｉｍｕｓｅｏｆｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｇｉａｌｌｕｎｉｏｇｆｏｒｔｈｅｓｏｈｌｔｉｏｎｏｆａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｎｆｉｎｇＮａｖａｌＲｅｓＬｏｇｉｓｔＱｕａｒｔ，２７：８９—９５，１９８０ＫＧｕｐｔａａｎｄＡＲ乱ｉｎｄｒａｎＢｒａｎｃｈａｎｄｂｏｔｍｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｉｎｃｏｉｌｖｅｘｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｎｔｅＥｅｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇＭｇｍｔＳｃｉ．，３ｉ．１５３３．１５４６，１９８５ＭＢｒｅｔｔｈａｕｅｒａｌｌｄＢＳｈｅｔｔ）ｆ．Ａｐｅｇｇｉｎｇａｌｇｏｌ’ｉｔｌｎｎｆｏｒｔｉｌｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｒｅｓｏｕｒｃｅａｌｌｏｃａｔｉ。ｎｐｒｏｂｌｅｍＣｏｒｎＦｕｔｅｒｓ＆ＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈ．２９：５０５—５２７２００２ＢｅｌｌｍａｎＳｏｍｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｔｌｌｅｏ＊Ｙｏｆｄｙｎａｍｉ‘ｐｌｏｇｔａｎｎｎｉｎｇ—ａｒｅ＇ｄｅｗ，Ｏｐｅｒ．Ｒｅｓ，２（２ｊ：２７５—２８８．ｉ９５４ＢｅｌｈｎａｎＮｏｔｅｓＯｌｌｔｉｌｅｔｈｅｏｔ、ｏｆｄｙｔｌａｌｎｉｃＩｕＯｇｌａｍｍｉｕｇＩＶ—ｍａｘｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｖｅｒｄｉｓｃｒｅｔｅｓｅｔｓ．Ｖａｔ：ａｌ拧“Ｌｏｑｔ＾ｐｆⅢｒｔ３：６７．７０１９ｊＧ１０］Ｍ１１】Ｍ１２】Ｏ１３］Ｋ１４】Ｒ１５］Ｒ２００４年上海大学硕士学位论文１６】ＲＢｅＩｈｎａａＣｏｍｍｅｎｔ０１１Ｄａｎｔｚｉ９１ＳｐａｐｅｒＯｉｌｄｉｓｃ、ＩｅｔｅＶａｌｉａｂｌｅｅｘｔｒｅｍｕｍｐｒｏｂｌｅｍｓＯｐｅｒ．Ｒｅｓ．５（５）：７２３—７２４１９５７１７］ＲＢｅｌｌｍａｎａｎｃＬＳＤｔｅ３，｝ｕｓＡｐｐｌｉｅｄｄ３’ｌｉａｌｌｌｉＣｐｒｏｇｒａｌｎｌｎｉｌｌｇＰｒｉｎｃｅｔｏｒ。Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ＿ＤｍⅫ，１９６２１８ｊＧＤａｎｔｚｉｇＤｉｓｃｒｅｔｅ·ｖａｒｉａｌｂｅｅｘｔｒｅｎｌｕｎｉｐｉｏｂｌｅｎｌｓＯｐｅ，兄ｅ５，５（２）：２６６—２７７，１９５７１９１ＧＤａｎｔｚｉｇＬｉｎｅａｒｐｒｏｇｒｍｍｎｉｎｇａｎｄｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓＰｒｉｎｃｅｔｏｎＵｎｉｕｅｒｓｉｔｙＰＴｅｓｓ，１９６３２０】ＨＧｒｅｅｎｂｅｒｇＡｎＭｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆｋｎａｐｓａｃｋｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅ－ｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．，２６：１５９—１６２，１９６９２１１ＰＫｏｌｅｓａｒＡｂｒａｎｃｈａｎｄｂｏｕｎｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｔｈｅｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍＭｙｍｔ＆ｋ１３（９）：７２３－７３５．１９６７２２１ＶＣａｂｏｔＡｎｅｌｎｌｎｌｅｒａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｌｎｎｆｏｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ，ＯｐｅｒＲｅｓ．１８（２）：３０６－３１１，１９７０２３ｉＢＦａａｌａｎｄＳｏｈｔｔｉｏｎｏｉｔｈｅｖａｌｕｅ—ｉｎｄｅｐｅｉｌｃｌｅｎｔｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｂｙｐａｒｔｉｔｉｏｎｉｎｇ０ｐ＂Ｒｅｓ，２ｌ（１）：３３２—３３６．１９７３２４】ＨＧｒｅｅｎｈｅｒｇａｎｄＲＨｅｇｅｌｉｃｈＡＩ）ｒａｎｃｈｓｅａｒ（ｈａｌｇｏｉｉｔｌｎｎｆｏｌｔｈｅｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍＭｇｍｔＳｃｉ１６（５）：３２７－３３２１９７０２５＿ｔｌＥｖｅｒｅｔｔＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＬａｇｒａｎｇｅｍｕｌｔｉｐｌｉｅｌｉｎｅｔｈｏｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｏｐｔｉｍｕｎ＇ｌａｌｆｏｃａ—ｔｉｏｌｌｏｆｒｅｓｏｕｌｃｅ８ＯｐｅｒＲｅｓ，Ｉｌ（３）：３９９·４７１．１９６３９６１ＢＦｏｘａｎｄＦＬａｎｄｉＳｅａｒｃｈｉｎｇｔｏＩｔｈｅｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｉｎＯｌｌｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｏｐｅｒ．Ｒｅｓ，１８（２）：２５３·２６２，１９７０２７】ＰＨａｍｍｅｒａｎｄＳＲｕｄｅａｎｕＢｏｏｌｅａｎｍｅｔｈｏｄｓｉｎｏｐｅｒａｔｉｏｎｓｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄｒｅｌａｔｅｄａｒｅａｓＮｅｗＹｏｒｋ：Ｓｐ，ｉｎｇｅｒ—Ｖｅｔｌａｇ．１９６８２８ｌＧＳｈａｐｉｒｏＤｙｎａｍｉｃｐｒｏｇｒａｍｍｈｌｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｉｔｉｌｅｉｎｔｅｇｅｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｌ：ＴｈｅｉｎｔｅｇｅｒｐｒｏｇｒａｎｕａｉｕｇｐｌｏｂｌｅｍｖｉｅｗｅｄａｓａｋｎａｐｓａｃｋｔｙｐｅｐｔｏｂｌｅｍＯｐｅｒＲｅｓ．，１６（１）：１０３—１２１，１９６８２９】ＧＳｈａｐｉｒｏＧｅｎｅｉａｌｉｚｅｄＬａｇｉａｎｇｅｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｓｉｎｉｎｔｅｇｅｌ１）ｒｏｇｒａｎｕｎｉｎｇＯｐｅＴ．Ｒｅｓ，１９（１）：６８－７７１９７１３０１ＧＳｈａｐｉｉ（１ａｎｄＨＷａｇｎｅｌＡｆｉｎｉｔｅｒｅｌｌｅＷＥｄａｌｇｏＩｉｔｈｍｆｏｒｔｉｌｅｋｎａｐｓａｃｋａｎｄｔｕｒｎｐｉｋｅｍｏｄｅｌｓ（）耻，Ｒｅ．ｓ、１ｊ（２＂１９－３一１１，１９６７［３１１ＨＺｉｅｇｌｍＳｏｌｖｉｎｇｃ．ｅｌｔａｉｎｓｉｎｇｈ（＇ｏｉｌｓ［１ａｉｌ／ｅ（］（ＯｌｌＶｅｘｏｐｔ［１ｎｉｚＨ．ｔ，ｆｏｒｔｐｌ。ｏｂＩｅｍｓｉｎｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｐｌａｎｎｉｎｇＯｐｅｒＲｅｓＬｅｔｔｌ：２４６—９５＇２１９８２［３２］ｔｌＬｕｓｓａｎｄＳＫＧＩＩｐｒａＡｌｌｏｃａｔｉｏｎｏｆｅｆｆｏ，ｔＩｅＳｏｔｌｒｃｅｓａｍｏｎｇｃｏｍｐｅｔｉｎｇａｃｔｉｖｉｔｉｅｓＯｐｅｒ．Ｒｅｓ，２３：３６０．３６６，１９７５ｆ３３］ＫＭａｔｈｕｒ，ＨＡＩ，ＳａｌｋｉｎａｎｄＳＭｏｒｉｔｏＡｂｒａｎｃｈａａｄｓｅａｒｃｈａｌｇｏｒｉｔｌｎｎｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｕａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓＯｐｅｓＲｅｓＬｅｔｔ，２：１５５—１６０．１９８３２００４年上海大学硕士学位论文３４１Ｓ４３ＧＴｚａｆｅｓｔａｓＳｃｉＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｆｓｙｓｔｅｍｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ：Ａｓｕｒｖｅｙｏｆｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｌｌ：４５５·４８６．１９８０／ｎｔ上Ｓｙｓｔ３５ＩＷＥＧＣｏｃｈｒａｎＳａｍｐｌｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓＮｅｗＹｏｒｋ：Ｗｉｌｅｙ．１９６３３６１Ｌ．ＬａＭｅｒＦａｓｔａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｍａｔｈ．∞ｍＲｅｓ．，４：３３９一９５５。１９７９，３７１ＤＳＨｏｃｈｂａｕｍＴｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍＳｃｈｏｏｌｏｆＢｕｓｉｎｅｓｓＡｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎａｎｄＩＥＯＲＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＵｎｉｖｍｓｉｔｙｏｆＣａｌｉｉｂｌＩｌｉａ．Ｂｅｒｋｅｌｅｙ，１９９３３８１ＧＲＢｉｔｒａｎａｎｄＤＴｉｒｕｐａｔｌＴｒａｄｅｏｆｆｃｕｒｖｅｓ，Ｔａｒｇｅｔｉｎｇａｎｄｂａｌａｎｃｉｎｇｉｎｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇｑｔｔｅｕｅｉｎｇｎｅｔｗｏｒｋｓ０ｂＨｓＲｅ５．３７：５４７—５６４．１９８９Ｈｕｒｗｉｔｚａｎｄ３９１ＭＨＨａｎｓｅｌｌ、、ＮＷＧ＾Ｉｎ（１０ｗＳａｍｐｌｅｓｕｒｖｅｙｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｔｈｅｏｒｙ，ＶｏｔｎｍｅｓＩａｎｄＩＩＮｅⅢ｝ｂｒｋ：ＪｏｈｎＷｉｌｅｙ，１９５３
2023年8月1日发(作者：)
２００４年上海大学硕士学位论文摘要非线性背包问题是一类特殊的非线性整数规划问题．由于在管理，经济以及工业生产的最优化模型中的广泛应用，它在非线性整数规划中担当着十分重要的角色．一个非线性背包问题可描述如下：ｍａｘｍ）＝∑厶（ｑ）ｊ＝１ｎｓｃ．口（。）＝∑９ｊ（ｑ）ｓｂ，ｊ＝ｌ。∈Ｘ＝扛１０Ｓｘｊ≤ｕｊ，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ｝其中疗，毋为定义在吣，ｑ】上的连续实函数，ｂ和邯分别是变量唧的下界和上界．不失一般性，设ｆｆ，ｕｊ为整数，这里Ｊ—ｌ…．，ｎ．本文研究的主要问题是两类非线性背包问题一凸背包问题和凹背包问题．根据这两类背包问题的单调性和凸性，本文给出了０－１线性化方法．凸背包问题可以直接转化成一个等价的０－１线性背包问题，然后通过隐枚举法或动态规划法解这个ｏ．１线性背包问题就可以得到原凸背包问题的最优解．本文把这种ｏ．１线性化方法同Ｐｅｇｇｉｎｇ方法以及拉格朗匿对偶和区域割方法做丁数值比较，数值结果充分体现了ｏ＿１线性化算法的有效性和优越性．丽对于凹背包问题，首先用一个线性函数逼近目标函数，约束条件不变，这样就得到了一个目标函数是线性函数的凸背包问题，接下来就可以把得到的这个凸背包问题转化成一个等价的ｏ－ｌ线性背包问题，同样可用隐枚举法求解这个０－１线性背包问题．为了保证收敛性，我们利用函数的单调性和区域割技巧丢掉一些整数箱子，然后把保留下来的区域分割成一些整数箱子的并集．本文共由五章组成．第一章是前言部分，对非线性背包同题作了简单的介绍，并给出了几个非线性背包问题的模型；第二章介绍了求解非线性背包问题的现有算法；第三章绘出了凸背包问题的ｏ＿１线性化方法和数值结果，以及解０－１线性背包问题的几个常用算法，并与Ｐｅｇｇｉｎｇ方法。拉格朗日对偶和区域割方法做了数值结果比较；第四章着重介绍了凹背包问题的０＿１线性化分支定界算法；第五章是本文工作的总结以及对未来的研究２００４年上海大学硕士学位论文展望．ｎ关键询：非线性背包问题，线性逼近，０－１线性化，动态规划法，隐枚举法，Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ对偶，分支定界算法．２００４年上海大学硕士学位论文ＩＩＩＡｂｓｔｒａｃｔＮｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｉｓ８ｓｐｅｃｉａｌｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｎｔｅｇｅｒｐｒｏｇｒａｍ－ｍｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｂｅｃａｕｓｅｏｆｉｔｓｗｉｄｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｓｉｎｃｌｕｄｉｎｇｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，ｅｃｏｎｏｍｉｃｓａｎｄｉｎｄｕｓｔｒｙ，ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｐｌａｙｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｉｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｎｔｅｇｅｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ａｇｅｎｅｒａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｃａｎｂｅｄｅｓｃｒｉｂｅｄａｓｆｏｌｌｏｗｓ：ｎｒｎａｘｍ）＝∑乃（ｑ）』＝ｌｓｔ．９（。）＝∑鲫（≈）５６，ｊ＝１￡∈Ｘ＝（ｚｆ０Ｓｚ，≤％，≈ｉｎｔｅｇｅｒ｝，ａｎｄｇ｛ａｒｅｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｒｅａｌ－ｖａｌｕｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｌｌ＼｝，、‰｛、。ｂａｎｄ弘ｊａｒｅｔｈｅｌｏｓｓｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ，ｂａｎｄｑａｌｅａｓｓｕｍｅｄｔｏｂｅｉｎｔｅｇｅｒｓ，Ｔｈｅｇｏａｌｏｆｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｊｓｔｏｓｔｕｄｙｔｗｏｓｐｅｃｉａｌｃｌａｓｓｅｓｏｆｎｏｕｌｈｉｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｃｏｎｃａｖｅｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｕｓｉｎｇｔｈｅａｎｄｔｈｅｃｏｎｖｅｘ／ｔｙｏｆｔｈｅｓｅｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｗｅｐｒｏ－ａ０－１ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．Ａｃｏｎｖｅｘｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｃａｎｂｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄａｎｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ０－ｉｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍＴｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｉｍａｒｙｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｃａｎｂｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｒｅｓｕｌｔｉｎｇ０－ｉｌｉｎｅａｒｐｒｏｂｌｅｍｂｙｔｈｅｉｍｐｌｉｃｉｔｅｎｕｍｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｏｒｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｇｒａｍ—ｍｅｔｈｏｄ．Ｗｅｃｏｍｐａｒｅｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄ０－１ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈＰｅｇｇｉｎｇａｎｄＬａｇｒａｎｇｉａｎａｎｄＤｏｍａｉｎＣｕｔｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｒｅｓｕｌｔｓｔｈｅｅ最ｃｉｅｎｃｙａｎｄｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｆｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓｔｈｅｃｏｎｃａｖｅｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅｏｂｊｅｃ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｒｅｐｌａｃｅｄｂｙａｌｉｎｅａｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｔｏｇｅｔａｃｏｎｖｅｘｋｎａｐｓａｃｋｗｉｔｈａｌｉｎｅａｒｏｂｊｅｃｔｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．ＴｈｅｎｔｈｅｒｅｓｕｌｔｉｎｇｃｏｎｖｅｘｋｎａｐｓａｃｋｉｓｓｏｌｖｅｄｂＹｔｈｅｉｍｐｌｉｃｉｔｅｎｕｍｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｆｔｅｒｂｅｉｎｇｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄａｎｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ０－１ｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍＴｏｅｎｓｕｒｅｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ｍｏｎｏ—ｐｒ曲ｌｅｍｗｈｅｒｅ｜ｉｌｏｗｅｒｂｏｕｎｄａｎｄｔｈｅｕｐｐｅｒｂｏｕｎｄｏｆｔｈｅａｒｇｕｍｅｎｔ％ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙｆｏｒｊ＝ｌ，…，ｎ．Ｗｉｔｈｏｕｔｐｒｏｂｌｅｍｓ：ｃｏｎｖｅｘｍｏｎｏｔｏｎｉｃ／ｔｙｐｏｓｅｉｎｔｏｃｏｎｖｅｘｋｎａｐｓａｃｋｍｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｈｏｗｐａｒｔｔｉｒｅｐｒｏｂｌｅｍｐｒｏｂｌｅｍｉｎｔｏ２００４年上海大学硕士学位论文ｔｏｎｉｃｉｔｙａｎｄｄｏｍａｉｎｃｕｔｔｅｃｈｎｉｑｕｅａｒｅｕｓｅｄｔｏｒｅｍｏｖｅｃｅｒｔａｉｎｉｎｔｅｇｅｒｂｏｘｅｓａｎｄｔｈｅｒｅｖｉｓｅｄｄｏｍａｉｎａｒｅｐａｒｔｉｔｉｏｎｅｄｉｎｔｏａｕｎｉｏｎｏｆｉｎｔｅｇｅｒｂｏｘｅｓ．Ｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｉｓｏｒｇａｎｉｚｅｄａｓｆｏｌｌｏｗｓ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒ１，ｗｅｇｉｖｅｓｏｍｅｂｒｉｅｆｉｎｔｒｏ－ｄｕｃｔｉｏｎｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓｏｍｅｅｘａｍｐｌｅｓｏｆｉｔｓａｐｐｌｉ—ｃａｔｉｏｎｓＩｎＣｈａｐｔｅｒ２．ｍｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｏｍｅｍｅｔｈｏｄｓｉｎｔｈｅｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒ３，ｗｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅ０－１ｌｌｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｃｏｎｖｅｘｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｒｅｐｏｒｔｓｙｓｔｅｍａｔｉｃｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｒｅｓｕｌｔｓ．Ｗｅａｌｓｏｃｏｍｐａｒｅｔｈｅ０－１ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈｔｈｅＰｅｇｇｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅＬａｇｒａｎｇｉａｎａｎｄＤｏｍａｉｎＣｕｔｍｅｔｈｏｄ．Ｃｈａｐｔｅｒ４ｆｏｃｕｓｅｓｏｎｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｃｏｎｃａｖｅｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ａ０－１ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｂｒａｎｃｈ－ａｎｄ－ｂｏｕｎｄｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｆｏｒｔｈｅｃｏｎｃａｖｅｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅｓｕｕｍｌａｒｉｚｅｔｈｅｔｈｅｓｉｓｉｎＣｈａｐｔｅｒ５ａｎｄｓｕｇｇｅｓｔｓｏｍｅｆｕｔｕｒｅｒｅｓｅａｒｃｈｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍ，ｌｉｎｅａｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，０－Ｉｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎ—ｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｍｅｔｈｏｄ，ｉｍｐｌｉｃｉｔｅｎｕｍｅｒａｔｉｏｎ，Ｌａｇｒａｎｇｉａｎｄｕａｌｍｅｔｈｏｄ，ｂｒａｎｄｌ一ａｎｄ．ｂｏｕｎｄｍｅｔｈｏｄ．ｒｖＹ上海大学６７８０４３本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大学硕士学位论文质量要求。委员（工作单位、职称）答主辩任：，链移广名飚琴』ｐ争毗；擎炙委员●■上大，）泛、ｎ．磁■燃一儿几，ｎ导师●●锶塍舭荚弓兕垫攻答辩日期：≯邸牛．Ｓ原创性声明本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：釜丑塞日期塑业．点≥７本论文使用授权说明本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被套阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。（保密的论文在解密后应遵守此规定）签名：盏丑基导师签名：盈：！缝日｛｝目＝芝纽乡第一章前言§１．１问题的提出和定义一个徒步旅行者带了一个背包，他要用背包装入尽可能多的物品而不能超过这个背包的容量．如果有几种不同的物品可以装进背包，且每种物品都有一定的价值和体积．下面的问题就产生了：如何从这几种物品中选择才能使得放入背包的物品的价值最大．这就是著名的背包问题（ＫｎａｐｓａｃｋＰｒｏｂｌｅｍ）．令ｂ表示背包的最大容量，整数１，２，…，ｎ表示ｎ种可以选择的物品，聊，ｑ分别表示第Ｊ种物品的价值和体积．背包问题的数学公式可以表示为：ｎ暇Ｐ）ｍ“∑ｐｊｘｊＪ＝ｌｓ．ｔ．∑ａｊｘｊ≤ｂ，ｊ＝ｔｘｊ≥０，ｑｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝ｌ。…，ｎｔ其中ｘｊ代表第Ｊ种物品被选择的数目．当ｘｊ∈｛ｏ，１｝时，同题（ＫＰ）就是我们所熟悉的０－１线性背包问题．线性背包问题之所以得到了深入的研究，是因为很多实际问题都可以表示为线性背包问题．而在很多情况下，在经济管理与工业生产中，许多问豚的数学模型却是非线性的，由此产生的最优化问题就是非线性背包问题．非线性背包问题应用广泛，其中包括生产计划，资金预算，网络系统可靠性等．尽管非线性背包问题有着重要的应用，由于问题的困难性。这类问题在文献中并没有受到足够的重视，缺乏有效的算法或算法的实现经验．非线性背包问题的一般形式可表示为：（ＮＫＰ）ｍａｘｍ）＝∑，ｊ（ｑ）ｊ＝ｌｓｔ．ｇ（ｚ）＝∑．ｑＡｘｊ）≤ｂ，ｆＪ≤ｑＳｕｊ，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，．．．，ｎ．本文将用到一些概念，下面加以简单的说明２００４年上海大学硕士学位论文２定义１．１．１某个数学规划限制全部或部分决策变量取整数值，称为整数规划；如果限制全部决策变量都取整数值，就称其为纯整数规划；如果仅限制部分决策变量取整数值，则称其为混合整数规划；如果所有决策变量取值仅限于０或者』，则称为０．ｉ规划，这种决策变量称为止』变量．定义１．１．２若规划中目标函数及约束函数都是线性函数，称它为线性规划；否则，若其中至少有一个是非线性函数，则称它为非线性规划．特别地，若目标函数为二次函数，且约束函数是线性函数，这种非线性规划为二次规划．定义１．１．３如果一个函数可以写成若干十一元函数和的形式，则称其为可分的．即若，知１，ｘ２，…，。。）＝，ｌ啊１）＋１２（ｚ？）＋…＋＾（ｚ。），则称函数，是可分的．定义１．１．４假设函数，是定义在集合Ｄ上的函数，如果对ＶＸｌ，ｚ２∈Ｄ且ｚｌＳ２；２都有，（ｚ１）≤，（。２），则称函数，在Ｄ上是非减的．定义１．１．５称Ｄｃ酞”是一凸集是指如果对Ｖ．ＴＩ，ｘ２∈Ｄ和Ａ∈爬，０ＳＡ≤１，有＾０１＋（１一Ａ）ｚ２∈Ｄ定义１．１．６如果ＤｃＲ，－为一凸集，，：Ｄ—Ｒ为凸ｒ凹Ｊ函数是指如果对Ｖ：ｇｌ，。２∈Ｄ和Ａ∈Ｒ，０≤＾≤１，有，（Ａ。ｌ＋（１一Ａ）。２）≤（≥）Ａ，（ｚ１）＋（１一Ａ），（ｚ２）我们这里讨论的目标函数以及约束函数都具有单调性，所以这个问韪可以称为单调规划问题．根据目标函数的凸性，我们可以将此类问题分为两类：定义１．１．７在本文的问题ｒⅣＫ列中，如果目标函数是凹函数，则称此规划为凸背包问题；否则，如果目标函数是凸函数，则称此规划为凹背包问题．定义１．１．８【。Ｊ是小于等于ｚ的最大的整数，而ｆｚ］则是大干等于ｚ的最小的整数．§１．２非线性背包问题的模型非线性背包问题有着广泛的应用，主要包括资金预算（ＣａｐｉｔａｌＢｕｄｇｅｔｉｎｇ）（［３３］），生产计划（ＰｒｏｄｕｃｔｉｏｎＰｌａｎｎｉｎｇ）（ｆ３１】），市场生产（Ｍａｒｋｅｔｉｎｇ）（［３２１），分层抽样（Ｓｔｒａｔｉ—ｆｌｅｄｓａｍｐｌｉｎｇ）（［３５］），网络中系统可靠性（ＳｙｓｔｅｍＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ）（［３４］［１３］［９］），制造业中容量计划（Ｃａｐａｃｉｔｙｐｌａｎｎｉｎｇｉｎｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇｎｅｔｗｏｒｋｓ）（ｆ１３】）等，本节介绍三个模型．２（Ｘ）４年上海大学硕士学位论文３１．２．１．制造业中容量计划问题许多制造业系统都可以看作是一个排队的阿络模型．其中，网络中的一个结点代表一台机器或者一个工作站，制造业容量计划问题就是给定一个总的费用约柬值，使得工作站的服务耗用最小．这个问题可描述成下面的样子；（ＭＣＰ）ｒａｉｎ∑ｆｊ（ｚｊ）ｊ＝ｌｓｔ．∑毋（ｑ）＜６，ｊ＝ｌ０兰≈≤“Ｊ．。ｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，．．，ｎ，这里我们记；ｎ：网络中工作站的个数；筇第Ｊ个工作站的服务率（即决策变量）；矗（ｑ）：第ｊ个工作站达到容量ｑ所需要的费用（凸函数）；ｇｊ（ｘｉ）＝幻岛（≈）：第Ｊ个工作站工作需要的平均投入费用；６一：第Ｊ个工作站完成每个工作需要的平均投入费用；Ｌｊ（ｚｊ）：第ｊ个工作站需要完成工作的均值，具体的函数形式在下面ｉ６：整个工作过程中网络所允许的总投入费用；％：第Ｊ个工作站顾客的到来率（对Ｖ＾∞＞ｏ）；∞，：第Ｊ个工作站等待顾客的时间方差的平方项系数；ｃｓｊ：第ｊ个工作站服务时间方差的平方项系数；ＢｉｔｒａｎａｎｄＴｉｒｕｐａｔｉ（［３８］）用下面的函数来近似Ｌｊ（ｘｊ），并证明了岛（ｑ）是ｑ的凸函数：Ｌｊ（ｘｊ）＝∞／ｑ＋（（。ｑ＋ｃ５Ｊ）督／（２ｑ（勺一∞）））＾（∞，ｑ，ｃａｔ，ｃ勺）其中味＾ｐ一２竹勺∞ｃｑ）（。Ｊ一７ｊ）／３７ｊ（ｃａｊ＋ｃｓｉ））ｉｆｃａｊ≤１ＪＣ勺ｆｆ，ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ１．２．２．分层抽样中的最优样本配置我们来考虑如何估计人口中值ｐ的值Ｆ．一个解决此问题的方法就是把人口分成ｎ类，从每类中抽样，人口中值就可以描述为这ｎ类中抽样平均值的加权和．２００４年上海大学硕士学位论文４从每类中抽取样本的数量问题就可以形成一个非线性背包问题的模型，其中整数决策变量表示每类中样本的规模．这类问题可以表述为在给定的抽样费用预算下使得估算值§的方差最小．抽样费用函数可以为线性函数也可以为非线性函数（【３９】【３５】）．我们这里考虑约束函数为线性函数的情况．（ＳＡＭＰ）ｍｉｎｙ（Ｆ）ｎｓ．ｔ．∑ｂｊｘｊ≤ｂ，ｊ＝ｌｌｊ≤ｑＳ２ｂ，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ．Ｊ＝１，．．．，ｎ，这里我们记：ｎ：分成类的数目；％：每类中样本的大小即决策变量（Ｊ＝１，…，ｎ）；Ｎｊ：第Ｊ类中抽样单元的数目；Ⅳ：所有类中抽样单元的数目（Ｎ＝∑譬１％）；脚：第Ｊ类的实际中值大小；一，：第Ｊ类的标准方差；矾：第Ｊ类的样本中值；“：人口中值；６：所有可用的抽样费用；ｂｊ：在第Ｊ类中调查一个单元所需的费用．Ｃｏｃｈｒ∞（［３５］）指出，ｐ的无偏估计量萝可以由所有类的样本中值的加权来计算，也就是可＝∑饕ｌＮ／Ｆ／Ｎ．方差估计由下面的公式给出：ｙ（口）＝（１／Ｎ２）∑孵霹（屿一ｑ）／（＾。ｑ）．ｊ＝ｌ令吗＝（Ｎｊａｊ／Ｎ）２，Ｄ＝∑裟ｉ由／坼，问题（ＳＡＭＰ）可以写成：（ＳＡＭＰ’）ｍｉｎ∑ｄｊｌｚＪ—Ｄｊ＝ｌｓ．ｔ．∑ｂｑｓｂ，ｊ＝ｌ０≤叶≤“ｊ，ｑｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，．．．，ｎ－注意到在（ＳＡＭＰ’）中，目标函数是一个可分的凸函数，约束函数是一个线性函数，所以它是一个凸背包问题．２００４年上海大学硕士学位论文１．２．３．系统可靠性问题５对于—个Ｎ级串联模型，问题在于如何进行最优的冗余分配，使得在给定费用约束下系统的可靠度最大．如图（１．１）．数学模型可表示为：（蛐）ｍａｘＲ。＝ⅡｎＡｘＪ）ｊ＝ｔｎｓｔ．∑ｇｉ（ｘｊ）≤ｂ，Ｊ。１０Ｓｘｊ≤ｕｊ，２ｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，－．．，ｎ，这里我们记：见：整个系统的可靠度；Ｒｊ（％）：第Ｊ个子系统的可靠度；ｇｊ（Ｘｊ）：耗费在第Ｊ级上的费用；６：可用费用的总数；ｌｊ：第Ｊ个子系统最少的级部件数；“第Ｊ个子系统的级部件数；ｕｆ：第Ｊ个子系统最多的级部件数．如果我们把（ＳＲ）的目标函数取对数。这样它就可以转化成一个（ＮＫＰ）问题图１．１：串并联系统２００４年上海大学硕士学位论文６§１＿３本文工作概要本文的主要工作是把非线性背包问题转化成我们所熟悉的０－１线性背包问题，然后通过解这个ｏ－ｌ线性背包问题来解对应的非线性背包问题．在【３】中Ｈｏｃｈｂａｕｍ把凸背包问题转化成一个等价的ｏ＿１线性背包问题，并提出用“贪婪”算法得到与ｏ－１线性背包问题相应的连续解，然而并没有给出数值结果．本文将在第三章将此方法给予介绍，并利用隐枚举法解相应的０－１线性背包问题，最后给出了数值结果，我们把这种方法称为０－１线性化方法．而对于凹背包问题则不能直接利用Ｈａｕｃｈｂａｕｍ提出的这个０－１线性化方法．我们用—个线性函数来逼近目标函数，而约束条件不变，这样我们就得到了一个目标函数是线性函数的凸背包问题，利用ｏ．１线性化方法我们就可以得到凸背包问题的最优值，很容易证明它是原凹背包问题的一个上界，而此时得到的最优解代入原问题就得到一个下界．由于函数具有单调性，我们可以的并集的形式．接下来就可以在这些整箱子中解类似的问题，直到找到原问题的最优解．这种方法我们称之为凹背包问题的ｏ－１线性化分支定界法，在第四章中我们给出了主要算法及数值结果．由于要解０＿ｌ线性背包同题，我们还介绍了求解ｍ１线性背包问题的几种经典算法．借助于“区域割”技巧去掉定义域中的一些点，并把余下的区域表示成多个整箱子第二章现有主要算法介绍文献中求解（ＮＫＰ）问题的算法大多是分支定界算法（【１２㈣）．当（ＮＫＰ）为凸背包问题，即以ｚ，）为凹函数，缈（ｚ，）为凸函数时，由于相应的连续松弛问题是一个凸规划问题，可以用成熟的非线性规划方法来求解；而当目标函数，ｊ（ｚ，）为凸函数，约束函数ｇｊ（＊ｊ）为凸函数时，对应的连续松弛问题是一个全局最优化问题，直接求解将会很困难．另一类方法则是借助了函数的可分性而形成的动态规如算法（［１１Ｊ［７Ｊ）和对偶算法（【４１），再或者就是分支定界法与动态规划技巧的结合（【５１【８１）．Ｃｏｏｐｅｒ指出任何求解多维非线性整数规划的技巧都可以用寒求解单一约束的问题（ＮＫＰ）（［２】【１０１）．Ｌａｗｌｅｒ在（［３６１）中简单的描述了一个近似算法求解（ＮＫＰ），Ｈｏｃｈｂａｕｍ（［３７］）也提出了一个解决凸背包问题的算法，但是没有给出数值实验结果．本章介绍了四个算法：借助松弛技巧的Ｐｅｇｇｉｎｇ算法。动态规划算法，动态规鲻与分支定界相结合的混合算法，拉格朗日对偶和区域割法．§２．１Ｐｅｇｇｉｎｇ算法本算法所考虑的同题（ＮＫＰ）要求且标函数是可微的单调的凹函数，约束函数是可微的单调凸函数．此算法主要是一个分支定界算法，其中在每个结点处都利用ＫＫＴ条件求解（ＮＫＰ）去掉变量整数约束的松弛问题．尤其当决策变量可以表示为单约束函数的拉格朗日乘子的函数形式时，本节给出的求解连续松弛问题的算法非常有效．２．１．１．解连续变量问题令（ｃＰ）表示（ＮＫＰ）的连续松弛问题：（ｅＰ）ｍａｘ∑厶（ｑ）ｓｔ∑野（≈）ｓ６，ｊ＝１‘≤。ＪＳ“，，Ｊ＝１，．．．，ｎ对于把整数约束去掉的这类松弛问题，一般都是利用ＫＫＴ条件求解．最初研究的此类问题是带有单线性约束的二次背包问题，后来就推广到一般的具有可分的凹的７２００４年上海大学硕士学位论文８目标函数和单线性约束的问题．类似的研究也用到了具有可分的凹的目标函数和单约束∑冬。ｑ＝ｂ以及连续有界变量约束的问题．（ＣＰ）的ＫＫＴ条件为下面的一些公式：∑毋（勺）ｓｂ（２．１．１）ｉ＝ｉ０≤ｚＪＳ呵Ｏ＝Ｉ．．．．，ｎ），（２．１．２）ａＤ／ａ，。ｊ一＾ａ毋／Ｏｘｉ一２０＋１吩＝ｏｏ＝ｌ，．．．，ｎ）（２．１．３）Ａ（６一∑毋（≈））＝０，（２１．４）Ｊ＝１吩（ｆＪ—ｑ）＝ｏＯ＝１，．．．，ｎ），（２１．５）１蜥（ｑ一吩）＝００＝１，．．．，ｎ），（２．１．６）叶≥００＝１，．．，ｎ），（２．１．７）ｑ≥ｏｕ＝１，．，．，ｎ），（２．１．８）Ａ＞０．（２．１．９）其中Ａ，叱，屿分别为∑≥１毋（ｑ）曼ｂ，如曼ｑ，ｑｓ嘶的拉格朗日乘子－令弓（Ａ）表示方程ａＤ／ａｘｊ—Ａａ毋／ａｑ＝０的关于Ａ≥０的一个根·考虑下面的表达式，其中∞，ｑ，ｔｑ都是乘子＾的函数：ｑ＾Ｉ｜＾～，、、０一ｑⅥ；＜弓＾＝ｖ弓∽＜似拯吲ｋｂ”ｑ蚴ｃａ，＝｛：厶（。）／８ｚＪ一＾ａ９ｊ（ｂ）７。。’；；耄；：；；：ｑｃａ，＝｛：。厶。ｑ，，。ｑ＋。。毋。Ⅵ，，。。，；ｉ，ｆ弓蓄ｊ。（Ａ。，）≥＜ｑｕｊ可以证明当Ａ＞０时，ｚ，（Ａ）．叱（Ａ）１ｑ（Ａ）满足除（２．３．１）和（２．３４）之外的（ｃＰ）的所有的ＫＫＴ条件．寻找最优的乘子＾使得ｑ（Ａ），ｕ（＾），屿（Ａ）满足剩余的这两个ＫＫＴ条件则是本小节的主要任务．求解非线性方程ａＤ／ｏｘＪ—Ａ锄／知，＝０，如果＿ｊ（＾）２００４年上海大学硕士学位论文９可以表示成Ａ的显式形式，则把其带入上面的三个式子，得到（ＣＰ）的最优解．否则，就要多次寻找非线性方程的根，增加了算法的困难程度．令”表示最优的拉格朗日乘子，如果ｒ＝０，则很容易得到（ＣＰ）的最优解，否则，单一的非线性约束就没有了松弛即∑％１毋（ｑ）＝ｂ且忽略掉变量的上下界，相应的松弛问题比（ＣＰ）更容易求解．由此形成了变量固定（ｐｅｇｇｉｎｇ）算法，见（ｆ１３】）．算法每迭代一次都会将一些不满足上下界约束的变量固定为其下（上）界，这样就减少了下次迭代时要解决问题的规模．当所有没被固定的变量都满足其上下界时，算法在有限步内终止．２．１．２．解整数变量问题本节介绍的是一种分支定界算法．算法开始利用上面介绍的方法求解连续松弛问题（ＣＰ）．在分支定界法的每次迭代序列中，会产生并要懈两个子问题．如果某个子闻厨的解中有分数变量，则选中此问题进行分支，同时我们可以称这个被选中的子问题为“父问题”．假设在“父问题”的馋中第ｋ个分量ｚ：是分数．把ｚｋ≤ｔｚｌＪ加到“父问题”的约束中就构成了。左子问题”，同样的，把Ｘｋ≥ｆｚ：１加到“父问题＊的约束中就构成了。右子问题”．每进行一次迭代，在保留下来的连续子问题的最小的日标函数值作为（ＮＫＰ）最优值的一个上界。而任何一个带有整数解的予问题的目标函数值都可以作为（ＮＫＰ）的—个下界．能达到最大下界值的整数解作为当前最好解．此处用标准的去除原则从“树”上消除一些分支．如果（ＮＫＰ）的目标函数值的下界等于上界，或者“树”上的所有节点都被去掉时，算法终止．§２．２动态规划算法动态规划就是把有ｎ个变量的决策问题转化成ｎ个单独变量问题的技巧．这样，ｎ个变量的决策问题就被构造成一个顺序求解各个单独变量的ｎ级序列决策问题．动态规划是以“最优性原理”为基础的，它对决策问题能给出一个精确的解．动态规划的“最优性原理”是由Ｂｅｌｌｍａｎ于１９５７年提出的：“一个最优策略具有这样的特性，即无论初始状态和初始决策怎样。剩余的决策对初始决策所产生的状态来说必须构成一个最优策略．”涉及动态规划问题的关键元素是级，状态，奂策，变换和收益．一个物理的操作的或概念化的系统，可以看作是按一系列顺序的级而向前发展的．在每一级，系统可以用一相对来说较小的参数组来描述或表征，这些参数称为状态变量或状态向量（简称状态）在每一级，不管系统处于什么状态，都要做出一次或多次决策，这２００４年上海大学硕士学位论文ｌｏ些决策可以依赖于级或者状态，或者二者均依赖．当做了一次决策后，会得到一个收益，同时系统经历了一次变换或转移，到达下一级．按级发展的过程的总目标是使状态和决策变量的某个函数最大或者最小化．我们将研究的问题（ＮＫＰ）看作一个多级决策过程，其状态变量和状态变换给出为：＾＾一１＝＾＾一９ｋ（。＾）．６１（Ａ１）。悖．≤黑讯岫。｝，ｌ（。Ｉ），ｋ（ｈ）２ｋ！。。蛐ｍａｘ恻√＾（。ｋ）＋¨（扎一ｇｋ（ｘｋ））ｍ＝２…，ｎ）一般来说，肌（ｚ々）为非线性函数，所以必须用数值方法求ｈ—ｇｋ（ｘ女）＝０的§２．３ＤＰ＆ＢＢ混合算法本节给出了一个新的方法求解可分的整数规划问蹶．这个方法是动态规划（Ｄｙ－Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ）和分支定界（ＢｒａｎｃｈａｎｄＢｏｕｎｄ）的结合．定义ｈ（６）为：＾。（６）＝ｍａｘ∑疗（ｑ）（２３．１）Ｊ＝ｌｎｓ．ｔ．∑９ｊＣｚｊ）ｓｂ，Ｊ＝ｌｘｊ∈毋，Ｊ＝ｌ，…，ｎ，０ｓｑｓｕｊ，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ｝考虑第≈阶段的情况：Ⅳ“（６）＝ｍａｘ∑，Ｊ（ｑ）（２３２）Ｊ。１ｋｓ．ｔ．∑毋（ｑ）≤６，Ｊ。１ｑ∈ｓ』，Ｊ＝ｌ，…，≈．利用上面的状态变换和“最优性原理”。我们能迅速的导出递推公式：其中靠为ｋ—ｇｋ（ｘｋ）＝０的根，根．除了这一点所引起的不太大的复杂化之外，可以利用上面给出的递推公式计算ｈｋ（Ａｋ）和ｘｋ（Ａｋ）的表格，然后得到原问题的最优值和最优解．ｎａｍｉｃ其中岛＝｛巧ｆ２００４年上海大学硕士学位论文注意到ｈ（６）就是（ＮＫＰ）的最优值，我们的目标就是计算数列｛札（ｂ）｝，（≈：１，…，ｎ）．这些公式和迭代的最优化称为动态规划方法．令《表示（２３．２）的可行解的一个子集．一个可行解ｚ∈．《称为被另一个可行解ｚ７∈《占优（ｄｏｍｉｎａｔｅｄ），如果满足下面的条件：ｋｋ∑ｇｊＣ弓）ｓ∑毋（叶）Ｊ２ｌｊ＝ｌ和ｋｋ∑厶（《）≥∑矗（町），ｊ＝ｌｊ＝ｌ且在这两个不等式中至少要有一个是严格不等式．如果。∈《不霰《中的其它任何元素占优，则我们称ｚ关于《是有效的（ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ）．令雒表示（２．３．２）的所有有效解的集合．问题（２．３．１）的所有有效解的集合碍可以由下面的公式迭代丽得；西∈Ｘｆ∈Ｘ？＝Ｓｌ且ｘ￡￡ｘｆ∈础＝ｘ￡一ｌｘ＆，≈＝１，…，ｎ其中ｘ２之（（茹１，．．，茁ｋ一１，ｚ女）ｌ（。ｌ，…，ｚ≈一１）∈ｘ毒一ｌ，士ｋ∈鼠）ｂＸｆ＝如∈ｘ２Ｉ∑毋（町）≤６）），Ｊ２ｌ鬈＝｛￡∈ｘｆＩｚｉｓｅｆｆｉｃｉｅｎ￡＂溉ｒｅｓｐｅｃｔｔｏ《）．如果牙∈霹且∑≥ｌ毋（弓）＝万，则虿是（２．３１）的一个最优解，其中ｂ由万代替．这个结论可以由占优的定义直接得出，所以寻找（２．３．１）右端项为６时的所有有效解就等价于寻找右端项为ｂＩｓｂ时的所有最优解．找到ｊ《的程序可以简单的描述如下：动态规划方法第一步；设ｋ＝１，科＝Ｓｌ第二步：从硼中消去不可行点构造成．础２００４年上海大学硕士学位论文第三步：从ｘｆ中消去所有被占优的点构造成磺．第四步；如果ｋ＝ｎ，终止．否则令ｋ＝ｋ＋１，ｘ２＝Ｘ≈一１ｘ岛，转第二步．第二步中的可行性判断是—个简单的事情，即检查需要的资源数量是否超过可用的资源数量．第三步中的占优判断有点复杂，但是通过（［７Ｊ）中的链式表，就可以把此步有效的解决．当算法终止的时候，我们就得到了（２．３．１）右端项为ｂ’茎ｂ时的有效解集蟛和相应的最优值：ｎｎ，ｎ（∥）＝ｎｌａｘ｛∑ｆｊ（ｘｊ）Ｉｚ∈群，∑卯（勺）≤ｂＩ）．ｊ＝ｌ』＝ｌ注意到最优收益函数矗（∥）是一个在０兰ｂ’≤ｂ上非减的上半连续分段函数．由于这个动态规划方法寻找的是每个右端项为∥≤ｂ时的所有的最优解．现在我们把注意力集中在如何求解右端项为ｂ时的最优解．我们借助于分支定界法来完成这个任务．考虑Ｖｚ＝（轧…，ｘｋ）∈雄，令卢＝∑名ｌ９』（ｚ』）．我们把卢记作部分解ｚ所消耗掉的资源．对于给定的ｚ∈雄，在第ｋ阶段的剩余问题（ｒｅｓｉｄｕａｌｐｒｏｂｌｅｍ）为：ｈｋ＋ｌ（６一卢）２ｊ：帆ｍａｘ，。矗（即）（２删ｓ．ｔ．∑毋（ｑ）≤ｂ一反ｊ＝ｋ＋ｌｚｊ∈岛，七十１≤Ｊ≤ｎ．这样，假定已经消耗掉资源口，则剩余问题的最大收益就是巩＋ｚ（６一卢）．对所有的０ｓｋｓｎ一１，令ＵＢｋ＋１是函数万的一个上界，即瓦＋ｌ（ｂ一芦）≤ⅣＢｋ＋ｌ（６一口），Ｖ０≤卢≤ｂＵＢ≈＋１可以是（２．３３）任一松弛问题的值．而（２．３１）的任何一个可行解都可以得到＾。（６）的一个初始下界．已经知道的最好的解称为当前解（ｉｎｃｕｍｂｅｎｔ），其相应的最优全解不可能比当前解更好，此时称。由界去除．在第ｋ阶段耀中余下的元素记为雄，即．磺＝扛∈ｘ￡Ｉ∑；：１矗（ｑ）＋ＵＢｋ＋Ｉ（ｂ一∑％ｌ毋（ｑ））＞ＬＢ｝．利用启发式算法可以找到更好的可行解，使得下界改进．如果。’＝（。：。．，ｚ：．）是由启发式算法找到的可以与ｚ＝（％．，“）∈．磙构成一个完全解，且满足￡笔ｌ矗（ｑ）＋∑饕ｋ＋ｌ疗（ｚ；）＞工Ｂ，值就可以作为当前的一个下界即工Ｂ．上面的提到的上界和下界可以用来去掉一些部分解．如果对ｒ∈．磺，有∑；：ｌＩｊ（ｚｊ）＋ＵＢｋ＋ｌ（６一∑；：ｌ毋（ｑ））≤ＬＢ，则由。组成的完２００４年上海大学硕士学位论文１３则（ｚ，一）就可以作为更好的当前解．在第ｋ阶段我们知道＾。（６）落在ＬＢ和全局上界ＵＢ＝ｍａｘ—．Ｊｋ：Ｉ厶（ｑ）＋ＵＢｋ＋ｌ（ｂ一∑；：ｌ毋（ｑ））１。∈．醒）之间．如果间隙（ＵＢ—ＬＢ）非常小，算法就可以终止．为了把分支定界法加入动态规划程序里面，必须重新定义雄为有效解集的一个子集和础＝．碓一ｌ×鼠，＾＝２，…，ｎ．令风＋ｌ（６一口）表示（２．３．３）的最优值，ｆ表示解的近似程度．这个混合算法可以描述如下：ＤＰ和Ｂ２－，Ｂ算法第一步：设ｋ＝１，ｘ｝＝ｓｌ，ＬＢ＝日１（６），ＵＢ＝ＵＢＩ（６），选择Ｅ∈【ｏ，１】，Ｌ≥１．如果ＬＢ＝ＵＢ，终止；否则转下一步．第二步：从碑中去掉所有不可行点构造ｘｆ．第三步：从《中去掉所有被占优的元素构造雄．第五步：构造雄＝｛ｚ∈雄Ｉ∑名ｌ疗（ｑ）＋ＵＢｋ＋１（６一∑凳１毋（ｑ））＞ＬＢ｝．ｍｉｎ｛ＵＢ，ＵＢ，｝ｚ∈雄｝，ＬＢ＝§２．４拉格朗日对偶和区域割方法由于函数，和ｇ具有可分性，相应的拉格朗日松弛问题就简化为解ｎ个一维的第四步：如果Ｉ雄ｌ兰Ｌ设雄＝雄，转第九步．第六步：令ＵＢ７＝ｍａｘ｛∑；；ｌ厶（ｑ）＋Ｕ凤＋１（６一∑％ｌ毋（ｑ））ｌ。∈雄），且ＵＢ＝第七步：令ＬＢ’＝ｍ“（∑譬ｌ矗（％）＋凰＋１（６一∑譬１鲫（≈））Ｉｍａｘ｛ＬＢ，ＬＢ％如果有必要就改进当前最好值．第八步：如果（ＵＢ—ＬＢ）／ＵＢ≤ｆ，终止．当前解充分接近最优解．第九步：如果ｅ＝ｎ，终止，否则揣包含一个最优懈或者当前解是最优解。或者设ｋ＝ｋ＋１，础＝榷一】×Ｓ。转第二步．此算法综合了动态规划法和分支定界法，比较经典，但不是很有效．最大化问题．关键问题就是构造一个比较有效的算法寻找最优的拉格朗日乘子．为了降低松弛问题和原问题之间的对偶间隙，我们从区域中去掉某些个箱子，函数的单调性保证被去掉的这些箱子不会包含最优解，余下的区域仍然可以表示成箱子的并集，这使得接下来的松弛问题也是非常容易求解．当对偶间隙为零或者剩下的区域中没有可行点时，算法终止．运用ｓｔｌｒｒｏｇｔｔｔｅ技巧和次梯度法，可以用此方法来求解多约束的非线性整数规划问题．２００４年上海大学硕士学位论文１４２．４．１．拉格朗日对偶本节将要介绍含有单约束的整数规划问题的拉格朗日对偶问题的特性，给出扰动函数和拉格朗日对偶之间的关系．考虑单约束整数规划：（Ｐ）搿｛ｍ）ｌｇ（ｚ）９），其中，和目都是Ｒ“上的连续函数，ｘ是任意的包含有限个整数向量的集合．问题（Ｐ）的拉格朗日函数定义如下：Ｌ（ｚ，＾）＝，（ｚ）一Ａ（ｇ（Ｔ）一６），Ａ≥０．则（Ｐ）的拉格朗日松弛问题为：（工＾）ｄ（＾）２ｍ。∈ａ．ＹｘＬ（。，＾）·令Ｓ＝｛ｘ∈Ｘ｜ｇ（ｚ）≤６），，’＝ｍａｘｘ∈ｓ，（。），弱对偶定理总是成立（ＷｅａｋＤｕａｌｉｔｙ）：ｄ（Ａ）≥，（ｚ），Ｖ￡∈Ｓ，＾≥０．所以对所有的＾≥０，有ｄ（＾）≥，＋．问题（Ｐ）的拉格朗日对偶问题为；（Ｄ）咖４（＾）假设Ｓ≠０，ｘ＼ｓ≠０，则（Ｐ）的扰动函数为；ｕ（Ⅳ）。搿｛ｍ）Ｊ州≤Ⅳ），”∈Ｒｕ的定义域为Ｙ＝【１，十。。），其中１＝ｍｉｎ。∈ｘ９（ｚ）．很容易看出，函数“Ｊ在ｙ上单调不减．由于Ｘ中仅存在有限的点，则Ｙ中也存在有限个点ａｉ∈ｈ，＋。。）Ｏ＝１，…，ｋ）使得ｕ有显式表达式：＾，０１≤Ｙ＜ａ２，２，啦≤Ｙ＜ａ３叫（Ⅳ）＝＾一ｌ，ａｋ一１≤Ｙ＜ａｋＡ，‰≤Ｙ＜ｏｏ，２００４年上海大学硕士学位论文１５其中１＝ａｌ＜ａ２＜…＜ａｋ，且＾＜，２＜··＜Ａ．令圣＝｛（ｑ，厶）Ｉｊ＝１，．．．，研．垂中的点可以定义为ｕ的角点（ＣｏｒＤ．ｅｒｐｏｉｎｔｓ）定义ｕ的上包络函数为最小化一个由ｕ所引导的凹函数：皿（ｇ）＝ｍｉｎ｛ｈ（ｙ）ｌ＾ｉｓｃｏｎｃａｖｅｏｎｙｔｈ（ｙ）≥ｕ（雪），Ｖ口∈ｙ｝．由于ｕ是ｙ上的单调非减函数，所以函数口也是Ｙ上的一个单调非减函数很明显，皿是具有如下形式的一个逐段线性函数ｔ，』．＋∈１０一ａｊ。）町１≤Ｙ＜ａ，ｈ，Ｊ：＋∈２（Ⅳ一ａｊ２）ｎＪ２≤Ｙ＜ａｊｓ皿（掣）＝厶Ⅳ一１＋｛Ⅳ一１（Ⅳ一ａｉＮ—１）ａｊⅣ一ｌ≤Ｙ＜ａｊⅣ，厶ⅣａｊⅣ兰Ｙ＜ｏｏ，其中，１＝ｊｌ＜Ｊ２＜·＜如且靠＝垒ｇＪｋ吐＋ｚ－ｇｊ，。，≈＝１，…，Ⅳ一１．由ｍ的函数线性性，我们有：田（Ⅳ）２＾ｒｍａｉｎＲ＾Ｙ＋７（Ｊ）Ｓ，ｔ．＾ｑ＋１≥，Ｊ，Ｊ＝１．．．．．ｋ．对任意固定的Ⅳ∈Ｙ，可以引入约束Ａａｉ＋１≥厶的对偶变量脚≥０，Ｊ＝ｌ，…，ｋ．问题（Ｉ）的对偶问题为：ｋｍ（Ⅳ）＝ｍａｘ∑心，Ｊ（ｊ，）Ｊ２１＾∑脚ｑ＝＂１Ｊ２ｌｋ∑如＝１，蜥≥０，Ｊ＝１，…，ｋｄ＝ｚ定理２．４．１令（Ａ’，１＋）和矿分别是倒和口珂的最优解，且Ｙ＝ｂ，则例Ａ‘是对偶问题ｒ驯的最优解且Ⅲ（６）２ｍ＾＞ｉｎｏｄ（Ａ）２ｄ（Ａ＋）倒对于任意的ｚ，ｆ‘：＞０，如果哥∈Ｘ满足（ｇ（面），，（暮））＝（ｎｉ，＾），则ｉ是拉格朗日松弛问题（工＾．）的一个最优解．２００４年上海大学硕士学位论文１６证明：见（［４】）．定理２．４．２Ⅲ设Ａ‘是ｆＤＪ的一个最优解，则（Ｌ”）至少存在一个可行最优解．而且如果ｄ（Ａ‘）＞，＋，则（Ｌ”）至少存在一个不可行解．ｆ印如果对某个ｒ≥０，同时能得到的一个可行解和一个不可行解，则Ａ＋是对偶问题俐的一个最优解．证明：见（㈤．２．４．２．对偶搜索程序由上面的理论，［４】中构造了一个程序来求解（Ｄ），且此方法是有限收敛的．其几何意义可以表示为：这个程序在每个循环中都访问到扰动函数ｕ（Ⅳ）的角点，最终得到拉格朗日乘子的最优值，即在皿（Ⅳ）的图象中与直线Ｙ＝ｂ相交的那个线段的斜率．此程序的起始点是在壬中找到最低的角点（ａｌ，＾）和最高角点‰，＾），每进行一次迭代就要解一次拉格朗日松弛（以），其中Ａ是一条直线的斜率。这条直线连接两个点：一个是当前最好的可行解，另一个则是离可行点最近的那个不可行解所代表的点，并且随着迭代步数的增加，直线连接的这两个点之间的距离越来越小，即对偶间隙越来越小．２．４．３．拉格朗日对偶和区域割方法假设”是对偶问题（Ｄ）的最优解．众所周知，松弛问题（Ｌ”）的所有最优解可能都不是原问题（Ｐ）的最优解，即对偶间隙一般都会存在的．为了降低对偶间隙和利用对偶搜索找到（ＮＫＰ）的最优解，利用ｆ（ｘ）和９（２）的单调性，可以得到一个区域割方法（这个将在第四章具体的介绍）．将对偶搜索程序和区域割方法结合在一起，可以得到一个收敛的拉格朗日和区域割算法．算法首先把对偶搜索程序运用到（ＮＫＰ）以得到一个最优对偶乘子以及一个可行解和—个不可行解，记住可行解。在原来的区域中去掉包含这两个可行解和不可行解的整数箱子，并把余下的区域写成多个整数箱子的并集．在第ｋ步迭代中，方法类似，只是把当前最好的可行解最为当前最优解，相应的当前最优目标函数值作为厂的一个下界，而此时的对偶最优值就是，‘的一个上界．为了防止割去箱子以后的子箱子数目增加太多，可以利用弱对偶定理去除一些箱子：这些箱子上的对偶值不超过当前最优解．在每次迭代过程中，要么当前最优解是原问题的最优解，要么（或同时）某些最优值仍在余下的区域中．当上界不超过下界或者余下的区域是空集时，算法终止．具体的算法见（【４１）第三章凸背包问题的０－１线性化方法本章考虑凸背包问题（ＣｏｎｖｅｘＫｎａｐｓａｃｋＰｒｏｂｌｅｍ）：ｎ（ｃｖｇＰ）ｍａｘＥ厶（ｑ）Ｊ＝ｌｎｓ．ｔ．∑ｇｊ（ｘｊ）冬ｂ，Ｊ。ｌ如≤ｘｊ≤％，ｚｊｉｎｔｅｇｅｒ，ｊ＝ｌ，．ｔ“其中五是非减的凹函数，毋是非减的凸函数，ｑ是决策变量，０和吩分别为勺的下界和上界，不失一般性ｆ，和ｕ，均为整数，这里Ｊ＝１，…，ｎ由于凸背包问题的目标函数是凹函数。约束函致是凸函数，我们可以把函数厶和ｇ，作一个逐段线性逼近变换，将（ＣＶＫＰ）转化成—个等价的ｏ－ｌ线性背包问题，然后通过解这个ｏ－１线性背包问题就可以得到（ｃＶＫＰ）的最优值和最优解。这种方法我们称之为ｏ．１线性化方法．这个方法是Ｍａｔｈｕｒ（１３３】）解二次背包问题方法的一个推广，在㈣）中有此方法酌详细分绍。但是设有数值实验结果．由于这里要解０－ｉ背包问胚，本章介绍了一些求解０．１线性背包问题的算法，最后给出了凸背包问题的０－１线性化方法的数值结果．§３．１０－１线性化本节介绍把（ＣＶＫＰ）转化成一个等价的ｏ．１线性背包问题的方法．令ｚｊｋ＝西（≈），其中０≤≈≤ｕｊ．定义一个逐段线性函数ｈｊ（ｚｊ），其断点为｛ｚｊｋ，ｆＡｋ）｝，≈＝｛Ｊ，ｆＪ十１．．．，ｑ，函数ｂ（勺）的图像见图（３．１）．定义集合刁＝｛≈ｋ，ｋ＝０，０＋ｌ，．．，ｕｊ｝＝｛ｇｊ（１ｊ），９ｊ（１ｊ＋１），…毋（ｑ）｝，ｊ＝１，．，ｎ．则凸背包问题（ＣＶＫＰ）可以写成下面的等价形式：ｔｌ（ＥＰ）ｍａｘＥｈＡｚ，）ｊ＝ｌｓ．ｔ．∑刁≤ｂ，ｊ＝ｔ≈∈乙，Ｊ＝ｌ，…，ｎ．１７２００４年上海大学硕士学位论文１８叱”俨即ｇｉ（ｋ）ｇｊ（ｋ＋１）ｚｊ图３１：函数ｈＡ２ｊ）引理３．１．１凸函数的差分是非减的．即若ｇ（ｘ）是Ｄ上的凸函数，ｚｏ＜Ｘｌ＜ｘ２且ｇ（ｘ２）丛型，Ｌ！ｆ墅２—Ｘ２７ｌｏｌ—Ｚ０证明：设Ａ＝；；暑等，１一＾：署焉，则０＜＾＜１且ｈ。十（１。）一纛射篡一ｚ·因为９（ｚ）是Ｄ上的凸函数，所以删＝９［慨＋（１刊珈】蛐（㈦＋（１－蝴啪２篡９（。：）＋篡删变形得纛№）一㈣】≤鬟№）一州即止止！幽ｓ型．ｑ（ｘ１）ｊ’ｌ—Ｚ０Ｘ２．Ｆｌ这说明了凸函数的差分是非减的．命题得证引理３．１．２凹函数的差分是非增的．证明：同上．定理３．１．１函数ｈｊ（ｚｊ）是一个非减的逐段线性的凹函数，其中ｇｊ（１ｊ）≤ｚｊ≤卯（“，）２００４年上海大学硕士学位论文１９证明由于＾，（ｚ，）是一个逐段线性函数，只需说明其每段的斜率是单调不’震∞即可．由于，，是凹函数，由引理（３．１．２）知差分是非增的，即对固定的Ｊ∈｛１，２，，ｎ｝，，Ｊ（女＋１）一ｆ／ｋ）ｓ疗（≈）一办（≈一１）：同样的，ｇｉ是凸函数，由引理（３．１．１）知其差分是非减的，即对固定的Ｊ∈｛ｌ，２，．，ｎ），卯（≈＋１）一ｇｊ（ｋ）≥，ｑｊ（ｋ）一ｇｊ（ｋ—１）．这样吗的斜率ｓｊ≈＝箝苷ｊ！｝；高随ｋ的增加而非Ｉ臀结论得证．注意到集合蜀的元素可以用下面的式子来表示：９ｊ（Ｉｊ）＝ｍ（ｆＪ）．毋（ｆＪ＋１）＝．ｑｉ（１ｊ）＋【∞（ｆＪ＋１）一．ｇｉ（１ｉ）所（“，）＝．ｑｊ（１２）十【９ｊ（１ｊ＋１）一目Ａｚｊ）！＋‘十【乳（ｕＪ）一ｇｉ（ｕｊ一１）Ｉ－用归纳法，这些式子可以用一个通项表示集合乃中的元素：Ｉ∑翟｛，十ｌｂ（ｉ）一仍（ｚ一１）１ｗｉｊ＋ｎ（２，）毋（ｚＪ）＝｛Ｗｉｊ∈｛０，１），ｉ＝ｆＪ＋１…，～ＩｉｆＷｌｊ＝０，ｔｈｅｎＶｋ＞ｉ，ｗｋｊ＝０其中ｑ∈坞．１ｊ＋１…．，～），Ｊ＝１…．１＂Ｉｔ．Ｎｆ４创ｊ乃（ｑ）也可以表示这样的形式：｜∑翟１１＋１［矗（ｚ）一疗（ｉ一１）１ｔＯｉｊ＋，Ｊ（０），』（ｑ）一｛ＩＣｉ，∈（０，１｝，ｉ＝Ｉｊ十ｌ，…，ｕ』ＩｊｆＷｉｊ＝０，ｔｈｅｎＶｋ＞¨Ｉ？¨＝ｏ其中ｑ∈蚂，ｆＪ十ｌ，．．ｔＩＪ｝，＝１一．ｒ１．令Ｐｕ＝厅（，）一，ｊ（７一１），心，＝∞（，）一ｙ一一１），这样（ＥＰ）也就是（ＣＶＫＰ）可以写成下面的等价形式：¨ｕｒ，｝∑∑ｎ一。。十∑，』（１，）（３．１．１１Ｊ＝ｌｉ＝／ｊ十ｌＪ２ｌｎＵ，ｔｌ∑∑“ｉｊｗｉｓｂ一∑ｇａｂ），（３ｌ２）Ｊ＝ｔｉ＝ｌｊ十１Ｊ２１ｔｌ，＇ｉｊ∈ｆＯ，１｝，（３．１．３）ＶＬ｛ｗｕ＞０ｊｔ“｛。－＝ｌ，≈＜ｉ｝（３１．４）２００４年上海大学硕士学位论文由于奶（２，）是凹函数，贝６由（３１．１）一（３．１３）组成的（ＬＰ）的松弛问题的最优解必然满足式子（３１．４）．也就是说，式（３．１４）从（ＬＰ）中去掉之后，问题（ＬＰ）依然与问题（ＣＶＫＰ）等价，而此时由（３１１）一（３．１．３）组成的（ＬＰ）的松弛问题是一个典型的ｏ．１线性背包问题，故问题（ＣＶＫＰ）可以通过解一个等价的０－１线性背包问题获得最优解假设ｗ＋是松弛问题的最优解，问题（ＣＶＫＰ）的最优解设为ｚ＋，则我们有下面的关系ｚ；＝∑兰．。：ｕｊｊ十』，（７＝１，…．ｎ）问题（ＣＶＫＰ）的最优值等于松弛问题的最优值．接下来的任务就是求解０－１线性背包问题．§３．２０－１线性背包问题及其主要算法０－１线性背包问题是一种最简单的整数规划问题，其一般形式为（ｏ—ｔＫＰ）ｍ“∑乃≈Ｊ＝１ｓｔ∑叩Ｊ≤ｂ，ｑ∈（ｏ，１｝．Ｊ＝１，…，ｎ其中Ｘ，是决策变量．不失一般性，功．ａｉ．ｂ都是大于等于零的数．任何求解线性整数规划问题的算法都可以用来求解０－１线性背包问题（０－１ＫＰ），最一般的可以用来解背包问题的方法主要有以下四种：（１）隐枚举法（ｈｎｐｌｉｃｉｔＥｎｕ—ｍｅｒａｔｉｏｎ）（见ｆ２２］［２３１１２４ｊ｝２１ｍ（２）动态规划法（Ｄｙｎａｍｉ（ＰｌｏｇＩａｍｍｉｎｇ）（见｛１４１１１５１１１６１１１７】ｆ１８１［１＿９１ｆ２０ｉ）．（３）网络逼近法（ＮｅｔｗｏｌｋＡｐｐｔｏａｃｈｅｓ）（见【２８］［２９１１３０］），（４）增广的拉格朗日法（ＧｅｎｒｅａｌｉｚｅｄＬａｇｒａｎｇｉａｔｔ）（见【２５１［２６１１２７１）．而且当约束函数右端项ｂ的值很小的时候，动态规划算法的效果非常有效，但当ｂ很大时，存储量变得很大，用来解（Ｏ－１ＫＰ）的动态规划算法则显得很失败，而隐枚举法受ｂ大小的改变影响并不大．网络逼近法把背包问题转化成一个最短路问题：由于产生的网络规模太大，这个算法也不是很有效，这里将不给予介绍．我们这里也不介绍方法（４），因为只有我们考虑近似解的时候，增广的拉格朗日方法才能得以运用．由于动态规划对函数的系数有整数要求，这里分两种动态规划来讨论．３．２．ｉ．动态规划一此种算法要求（ｏ一１ＫＰ）的约束中变量的系数以及右端项全是整数，即ａｉ（ｊ＝１ｎ）和ｂ都是整数２００４年上海大学硕士学位论文２１令＾（Ⅳ）表示背包的容量为Ⅳ从前≈种物品中选择使得（ｏ、ｌＫＰ）取得的最大值，其中Ｙ＝０，１，．，６：＾＝１２…ｍ注意到＾（６）就是（Ｏ－１ＫＰ）的最优值，我们的目标就是计算数列｛Ａ（Ⅳ））．ｋ＝ｌ，．定义：∑ｐｊａ，Ｅ。ｊ．Ｔ％ｉｓ！Ｉ，Ｘｊ∈（ｏ．１｝，Ｊ＝１，…，ｋ从上面的式子中分离变量‰，女＝１，．．，ｎ．得到ｆＩｌｌａｘ麒９Ｊ＝。名茄｝ｍ。‘＋｛５‘，，、ｌ∑型ｐｊｘｉ∑譬：ｑ即≤Ⅳ一。ｋＸｋ，【。，∈｛ｏ，１）．Ｊ＝１…．，≈～ｉ其中缸“们一“卜囊嚣≥＿一。ｆ一∑ｊｋ－：ｌｐ声－｜ｎＬ一∑譬ｐｊｘ＞Ａ一·（Ⅳ一“ｎ）２ｍａｘ｛ｓｆ∑；二：ｃ。．。≤Ⅳ～ｎ＊，１．ｏ∈（ｏ．１｝，ｊ＝ｉ，．，≈一１这样得到了求解｛ｆｋ（Ｙ）｝的迭代公式式子（３，２５）说明假设在前ｋ种物品中选择，若在第≈项得到最优值，则余下的空间Ⅳ一毗必须在前ｋ一１中物品中得到最优配置，这就是动态规划的最优性基本原则．注意到初始条件为：川小｛，０。：：篡２００４年上海大学硕士学位论文利用前面的迭代公式，可以在有限步内找到最优值，，。（６）．为了寻找最优解，这里要用到一个示性函数：ｈｋ（Ⅳ）：｛０Ｉｌｉｆ＾（Ⅳ）３＾一１（ｇ），ｉｆ＾（Ⅳ）＞Ａ一１（Ⅳ）算法３．２．１第一步：ｋ＝１，如果０≤Ｙ＜ａｌ，则，ｌ（Ⅳ）＝０，ｈ１（Ｙ）＝ｏ；否则如果ａｌ曼Ｙ曼ｂ．则，ｌ（封）＝Ｐ１．ｈｉ（可）＝０转第二步．第二步：令ｋ＝ｋ＋１，对所有的Ｙ＜ａｋ有Ａ（Ⅳ）＝＾一ｌ（Ⅳ），ｈｋ（ｙ）＝０，此时令Ｙ＝ａｋ．转第三步．第三步：计算＂＝肌＋Ａ—ｌ（Ｙ—ａｋ）如果ｔ，＞＾～ｌ（Ⅳ），则令＾（Ⅳ）＝ｕ，ｈｋ（ｙ）＝ｌｉ否则＾（口）＝＾一ｌ（Ⅳ），ｈｋ（ｙ）＝０转第四步．第四步：如果Ｙ＜ｂ令Ⅳ＝Ｙ＋１．转第三步如果Ｙ＝ｂ，转第五步．第五步：如果ｋ＜ｍ转第二步；如果ｋ＝ｎ，转第六步．第六步：如果‰（Ⅳ）＝１．则。ｋ＝ｌ，设Ｙ＝Ｙ—ａｋ．如果ｈｋ（ｙ）＝０，Ｘｋ＝０，转第七步．第七步：如果ｋ＞１，令ｋ＝ｋ一１，转第六步；如果ｋ＝１，终止．算法最后一次执行第五步时就得到了问题的最优值＾。（ｂ），第六步和第七步是计算最优解．此程序会在Ｏ（ｎｂ）步内找到最优解３．２．２．动态规划＝此种算法要求（０－１ＫＰ）的目标函数中变量的系数全是整数，即Ｐｊ（Ｊ＝１，…，ｎ）都是整数令Ｆ，（一）表示在前ｙ个物品中选择使得目标值为，时必须装入背包中物品的最小的容积．对于这个算法，与前面的动态规划一方法类似，也是需要一个迭代公式列表，最终找到最优值．这个公式需要的边界条件即初始条件为：Ｂ（ｏ）＝０，Ｊ＝１…＿１．迭代公式：Ｅ（，）＝ｒａｉｎ｛弓一１（ｉ—Ｐｊ）＋ａｊ．毋一ｌ（ｉ）｝，其中．，＝１…．ｍｉ＝１，２…．结合边界条件，由迭代公式可以得到一个表格，把这个表格中的值按目标函数值的升序排列如下：Ｅｌ（１）．毋（１），…，Ｆ，。（１）：２００４年上海大学硕士学位论文Ｆｌ（２），最（２），．．，晶（２）：２３Ｆｌ（Ｐ＋），玛（Ｐ＋），…Ｒ（Ｐ４）一旦满足Ｒ（ｔ）＝ｂ的最大值一Ｐ‘出现，此算法戟终止，此时Ｐ。就是最大的ｉ，也就是目标函数的最优值．由于每个函数值都在０（１）步内完成，这里共需计算０（ｎＰ，）次函数的值，所以次算法的计算时间就是Ｏ（ｎＰ＊），３．２．３．隐枚举法当（０－１ＫＰ）的目标函数以及约束函数的系数都不是整数时，可以乘一个很大的数使系数变成整数，但是这样由动态规划构造的表格会需要很大的存储量，从而动态规划就不适合用来解此问题了，一种有效而又快速的求解此类问题的方法则是隐枚举法．最早的解（０－１ＫＰ）的隐枚举法是由Ｋｏｌｅｓｍ－提出的～种宽度优先（ｂｒｅａｄｔｈ．ｆｉｒｓｔ）的分支定界算法，由于这种算法需要很大的计算机内存和时间太长，Ｇｒｅｅｎｂｅｒｇ和Ｈｅｇｅｒｉｃｈ提出了一种深度优先（ｄｅｐｔｈ－ｆｉｒｓｔ）的分支定界算法，避免了上述弊端．最近Ｈｏｌｏｗｉｔｚ和Ｓａｈｎｉ等人在深度优先算法的基础上得到了一个更好的算法．目前很多人又对此方法进行了深入的研究和改进．这里介绍由Ｈｏｉｏｗｉｔｚ和Ｓａｈｎｉ提出的算法．在这算法中，要用到问题的上界（ＵｐｐｅｒＢｏｕｎｄｓ）．接下来就奔绍（０－１ＫＰ）的几种上界．假设在问题（０－１ＫＰ）中，所有的物品已按下列顺序排成一列：ｐｌ／ａｔ≥ｐ２／ａ２≥一ｎ。／ｎ。且令ｓ是满足约束∑；：ｌｑ≤ｂ的决策变量下标的最大整数．Ｄａｔｌｔｚｉｇ已经证明了下面的定理．定理３．２．１把似ＺＫＰ）中的Ｏ－１变量约束换成０≤ｚＪ≤ｌＵ＝１，，ｎ）后的松弛问题的最优解为：ｒＪ＝０，，＝１．，ｓ：．＿＝０，Ｊ＝ｓ十２．ｎ：％一ｌ＝（ｂ一∑“ｊ）／峨＋１２００４年上海大学硕士学位论文２４推论３．２．１ｕ口Ｌ＝∑ｊ：ｌＰｊ＋Ｌ（ｂ一∑ｊ：【ｎｊ）ｍ＋ｌ／叽＋ｌＪ是ｆｏ一』Ⅳ刊问题的一个上界值．Ｍａｒｔｅｌｌｏ和ＴｏｔｈＮｘ．Ｊ－Ｄａｎｔｚｉｇ的结论给予改进，得到（０－１ＫＰ）问题的一个更好的上界．定理３．２．２Ｂ１＝∑Ｐｊ＋Ｌ（ｂ一∑ｑ）阱２／ａｓ＋２Ｊ，ＳＢ２＝∑Ｐｊ＋慨＋ｌ一（ｎ¨一（ｂ∑ａｊ））ｐ。／ａ。ＪＪ２１则ＵＢ２＝ｍａｘ｛ＢＬ，Ｂ２）是（Ｏ－１ＫＰ）的一个上界．证明：由上面的排序假设和最大整数Ｓ知（０－１ＫＰ）的最优解可以由两种方法得到：不装入第ｓ＋１个物品和装入第ｓ＋１个物品．第一种情况很明显不会超过Ｂ１的值；第二种情况则必须从前ｓ个物品中去掉至少一个，Ｂ２是最好的可能值，假设要去掉的物品重量正好有最小值吼Ｈ一（６一∑：：ｌａｓ）则最差的值为ｍ／ａ，，所以Ｂ１，Ｂ２中最大的一个必然是（０－１ＫＰ）的上界．结论得证．定理３．２．３ＵＢ２≤ＵＢｔ证明：我们只霈ｉｉＩｉ明ＵＢｌ≥Ｂ１和ＵＢＬ≥Ｂ２即可．由于风＋Ｊａ。＋ｉ≥ｍ＋２／ａｓ＋２，所以前者是很明显的．为了得到后者，需要证明Ｓ＾（ｂ一∑咖阱ｌ／吣ｌ≥Ｐｓ＋１一（吣Ｉ一（６一∑町））ｐｓ／‰Ｊ＝ｌＪ＝１世！．就是（Ｄ一∑ａ２（ｐ”１／ａ州变形得由ｓ的特性我们知ｂ一∑；：１ｃ。一ｎｎｌ＜０，由排序的结果知ｐ，＋ｌ／ａ¨１一ｐｓ／‰蔓０．从而命题得证定理３．２．４令矿为满足∑ｊ：１“』ｓｂ一“Ｈｌ的最大整数，Ｂｊ＝阱Ｌ十∑Ｐｊ＋Ｌ（ｂ—ａｓ＋ｌｒ∑芦叶ｍ＋肛＋则ＵＢ３＝ｍａｘ｛Ｂ１．Ｂ３）是ｆＤ一』耳纠问题的一个上界且ＵＢａ≤ｕＢ２２００４年上海大学硕士学位论文２５Ｍｕｔｌｅｒ和Ｍｅｒｂａｃｈ通过另一种不同的方法改进了（Ｏ－ＩＫＰ）问题的上界ＵＢ２定理３．２．５令酊是定理何２』／中松弛问题的对偶变量的最优解，即孵＝Ｐｊ—ａｊｐｓ＋ｌ／ａ”ｌ，．，＝１，．，ｓ，圬＝一乃＋吩绺÷Ｉ／Ⅱｓ＋ｌ，Ｊ＝ｓ十２，一，ｎ．则ＵＢ４＝∑＋【（ｂ一∑ａｊ）ｐ¨／ｎ州Ⅷｌｉｎ｛（ｂ∑ｑ）Ｍｌ／吣·，ｍｎｉＹ；ＩＪ≠ｓ＋１））ＪＪ２１ｆ－．Ｊ３１是问题的一个上界注意到ＵＢ，ｌ不会大于ＵＢｌ，但是它可以大于等于，等于或小于Ｕ岛和ＵＢａ，这样可以从ＵＢ３和ＵＢ４取最小的那个作为（Ｏ－ＩＫＰ）问题的上界，而ＵＢ４的计算量要比ＵＢ２和ＵＢａ的大。Ｈｏｒｏｗｉｔｚ和Ｓａｈｎｉ提出了下面的程序，能够很快的得到（Ｏ－１ＫＰ）问题的最优解．算法中将会用到下面的符号：，，…Ⅲ。＝∑整。功ｑ．其中ｚ＝（ｘｌ，…．Ｘｎ）是当前得到的一个可行解；＾Ⅲ＝∑譬ｌｎ蚧其中Ⅳ＝（玑…．，Ⅳ。）是当前得到的一个最好解．算法３．２．２第一步（赋初值）：把ｎ件物品按ｐｊ／ａｊ的递减顺序排列．令Ｐｎ＋ｌ＝０，ｆｚｎ＋ｌ＝００，＾ｃｓｔ＝，＾“。｛ｗｒ＝０７＝Ⅳ＝０第二步（启发式测试）：如果ｒＩ，＞ｂ．令ｓ＝７—１：否则令ｓ是满足∑；；。ａｊ≤ｂ的最大整数，计算：＝∑：：，ｌｑ＋（６一∑：：。‘ｏ）儿十】／ｆ，什ｌ如果几“≥。＋，，。。。ｉｂｌｅ，转第五步；否则转第三步．第三步（构造一个新得当前解）：如果“。≤ｂ且ｉ≤ｎ，设ｂ＝ｂ一眦，，，。ｉｂｌ。＝，，…。ｏｋ＋ｎ，ｚ。＝１ｊｔ＝２一１．否则，如果“，＞ｂ且ｔ≤ｍ则设孔＝０，２＝｛＋１重复此步骤，如果ｉ＜ｎ．转第二步；否则ｉ＝儿重复第三步，转第四步．第四步（保留当前最好解）：如果＾。，ｆ＜，，。ｉｂｌ。则令＾。ｎ＝，，。。ｉｂｌ。，口＝。，令ｊ＝７２，且如果ｊ·。＝１设ｂ＝ｂ＋ｎ¨．，胁，ｉｂｌ。＝，，。㈣№一Ｐｒ。Ｘ，。＝０，转下一步．最优值为ｋｍ相应的Ⅳ为最优解；否则令６＝ｂ十ｆｔｋ…Ｙｓ。ｉｂｌ。＝，，…ｉｂｌ。一ｍ，ｚｋ＝０，第五步（返回）：寻找使Ｔｋ＝１且满足＆＜，最大的々．若没有这样的々存在，ｉ＝ｅ＋１，返回第二步．这个算法的主要步骤就是开始于通过第三步的迭代构造初始当前解，相当于令｛。：０时由定理：ｊ２ｌ得到的整数解．很明显这是一个深度优先的分支定界算法．２００４年上海大学硕士学位论文向前移动是指把满足∑笠－ｎ。．ｑｓｂ的最大的物品放入当前勰中，向后移动则是通过第五步把装入的具有最大下标的物品从背包中去除．当一个向前移动完成时，第二步将会判断进一步前移能否改进当前最优解；在执行第三步的时候，最后一个物品已经考虑过了，第四步判断是否需要改进当前最优解，如果是，当前最优解得到升级．算法会在无需进一步返回时终止．§３．３数值结果这节我们要用３．１节的０－Ｉ线性化方法来求解四类问题，给出数值结果，并与Ｐｅｇｇｉｎｇ算法和拉格朗目对偶和区域割方法做了比较．３．３．１．问题这里考虑四类凸背包问题：１）最小费用问题（ＣｏｓｔＭｉｎｉｉｎｉｚａｔｉｏｎＰＩｏｂｌｅｍ）Ｃ＾，ＰｊＬ∑ｃｊ（～一：。）Ｊ。ｌＳｆ∑１。ｇ（１一（１—７－））‘旷ｑ’＜６，Ｊ＝ｌ２７≤：ｏ）≤“，，ｏ７ｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，．．，ｎ２）二次规划问题（Ｑｕａｄｒ￡ｔｔｉｃＰｒｏｂｌｅｍ）（ＱＰ）ｍａｘ∑ｎ¨∑ａｊｚ。ｓｂ．Ｊ＝Ｉｆ，Ｓ．。ＪＳ“Ｊ３）系统可靠性问题（ｓ、－ｓｔ＠ｎｌＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙＰｒｏｂｌｅｎＳＲＰ）ｍ“∑Ｌｏｇ（１一（卜。矿。Ｆ１¨∑ｎＪ．＂Ｃｊ曼ｂ，Ｊ＝１ｆＪＳ．。Ｊ≤ｉ‘Ｊ，。Ｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ２１，···，“２００４年上海大学硕士学位论文４）分层抽样最优化配置问题（ｓｎａｔｉｆｉｅｄＳｍｎｐｌｉｎｇＰｒｏｂｌｅｍ）（ｓｓＰ）ｍ“∑一９／．ｏｊ＝１ｔｌｓｔ∑ａｊｘｊ】。ｉｓ６，ｂ≤。】Ｓｕｊ，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ耸１，…，礼．３．３．２．数值结果及结论本章提出的ｏ．１线性化求解凸背包问题的算法由Ｆｏｒｔｒａｎ９０编程，在奔腾４上运行的，计算结果在下面的表格（３１－３ＰＣ１０）中．在所有的计算例子中，ｆ，＝１，“，＝５，ｊ＝１…，ｎ，并设ｆ＝（ｆ¨．．，ｆ。），“＝（虬．ＵＴｔ）为保证问题存在可行解，约束函数的右端项设为ｂ＝ｇ（ｚ）＋ｒ（９（ｕ）一９（眺，ｎ）其中ｒ∈（０，１）其它参数选取如下（Ｊ＝ｌ，（ＣＭＰ）：ｅ５∈［１，５０］，ｒｊ∈【０．８．０．９８１；（ＱＰ）ｃｊ∈［ｉ００，３００］、ａ９∈【１１５０】，为保证单调性，ｂｊ＝”勺／（２ｕ，），，’∈（０，１）；（ＳＲＰ）：７０∈｛０，８，ｏ９ｓｌ，８』∈【ｌ，５０ｉ；（ＳＳＰ）：勺∈【２５，５０】．ａｊ∈【ｌ，５０】．这是一些对于０－１线性化方法来说比较容易求解的问题的参数取法，然而当函数的系数在很小的范围内随机产生时，由于隐枚举法优先考虑系数的比值而不注重系数本身的大小，使得此方法则变得异常不稳定，相应的函数系数取法如下，数值结果见表（３８）（ＱＰ）：白∈ｆ１００，ｎｏＪ．ｑ∈ｆ１２５。１３５１．为保证单调性，巧＝“ｊ／（２ｔ。），７。∈（０，１）在计算过程中，需要用到下面的符号：·ｎ＝变量的数目即问题的规模；·‰＝随机产生问题的个数；·』，ｍ，Ａ，ｍＡｃ，．ｑ＝分别表示最大，最小和平均值．４）表明四类问题的维数从１０００到７０００都可以迅速的计算出来，充分表ｆ３１．３表明了此算法的有效性．表（３．２）和表（３．５—３．７）的数据表明，随着ｒ即右端项ｂ的增加，问题的可行点增加，从而增加了问题的难度，计算时间也随之延长．比较表（３，Ｇ．３．９，３１０）知，Ｏ－１线性化方法解决问题的规模远远大于Ｐｅｇｇｉｎｇ方法和拉格朗日对偶和区域割方法，这就给我们下一章求解凹背包问题提供了一个有效的方法．２００４年上海大学硕士学位论文垂！：！！【壁坐里２鲤堑堡堕墨ｆ！＝！：！）ＣＰＵ时Ｉ司“唧Ｍｉｌｌ＾ＩａｘＡ”ｇ壹！：！！ｆ里里２塑塑堡堕墨业＝！：！》ＣＰＵ时间礼礼９ＭｉｎＭａｘＡｖｇ然而，由于解０－Ｉ线性背包问题用的是隐枚举法，它本身的“贪婪”性给一类问题造成了困难，从表（３．２）和表（３，８）可以看到到隐枚举法的不稳定性．其中Ｎｓ表示２０个问题不能在３个ＣＰＵ小时内完成，ＬＤＣ则是拉格朗日对偶和区域割方法的缩写．垂！：！！ｆ！垦旦！堕墼堕堕墨业二！：生ＣＰＵ时间７‘“”Ｍｉｎ＾ＩＭＡｖｇ２００４年上海大学硕士学位论文２９壅！：塑墼照堡墨业三！：盟ＣＰＵ时间“礼ｐＭｉｎＭａｘＡｖｇ垂！：鱼！！塑墼堡鳖墨（！：三！：１２ＣＰＵ时间“””ＭｉｎＭａｘＡｖｇ垂！：！！ｆｇ里）塑塑焦鳖墨（！：三！：！）ＣＰＵ时间““”ＭｉｎＭａｘＡｖｇ垂！：！！ｆ旦里）塑塑焦堑墨ｆ！：三！：１２ＣＰＵ时间”唧ＭｉｌｌＭａｘＡｖｇ２００４年上海大学硕士学位论文３０丧！：！！ｆ鱼塑笪墼笪堕墨业三！：ｊ）ＣＰＵ时间ｊｎＴｔ｜’ＭｉｎＭａｘＡｖｇ２塑墼焦堕墨（ｒ＝ｏ．７）ＣＰＵ时间““９ＭｉｎＭａｘＡｖｇ表３．１０！兰旦曼查羹墅ｉ鱼里２塑鍪焦堡墨寸＝ｏ．７）ＣＰＵ时间７１”９ＭｉｌｌＭａｘＡｖｇ表３．９．￡！ｇ坚竖查鎏墅Ｉ鱼１第四章凹背包问题的０ｍｌ线性化分支定界算法考虑凹背包问题（ＣｏｎｃａｖｅＫｎａｐｓａｃｋＰｒｏｂｌｅｍｓ）“（ＣＣＫＰ）ｉｎ３ｘ，（ｚ）＝∑屯（勺）Ｊ２ｌｎｓｔｇ（ｚ）＝∑９＿』（ｑ）≤ｂ，Ｊ＝ｌｚ∈Ｘ＝（ｂＳ。Ｊｓｕｊ，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，．．．，ｎ），凹背包问题在经济规模的最优化模型中经常出现．由于目标函数是一个凸函本章首先介绍了函数的线性逼近，然后又简要介绍了区域割技巧和整数规划中§４．１线性逼近令ｎ，，ｊ∈ｚ”，ｆ』≤ＯＪ≤ｊ屯≤“Ｐ其中“＝（ｏｌ、，ｎ。）口＝（口１．．．，岛。）考虑ＣＣＫＰ）的子问题：（５尸）ＩＩ）ｒ＇ＩＸ“小＝∑乃（。），＝ｌ㈧Ⅳ（。）：∑珊（．Ｆ．）ｓｂ，Ｊ＝ｌ＆Ｊ≤ｏＪＳ卢，．ｘ５ｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝ｌ，．，”３ｌ其中乃和毋都是非减的凸函数，ｑ是决策变量，０和ｕ，分别为ｑ的下界和上界，不失一般性１，和啦均为整数，这里Ｊ＝ｌ…，ｎ．数，其相应的松弛问题是一个全局最优化问题，不好求解．由于凹背包问题与凸背包问题的区别就在于目标函数的凸性，而我们知道在第三章中ｏ．１线性化方法求解凸背包问题非常有效，这里我们提出一个０－１线性化分支定界算法，即首先用一个线性函数逼近目标函数，构造一个目标函数是线性函数的凸背包问题，接下来利用第三章中的Ｏ－１线性化方法得到凸背包问题的最优值与最优解，且此时得到的最优值是原问题（ｃｃ，Ｉ（Ｐ）的一个上界，把得到的这个最优解带入原问题（ＣＣＫＰ）的目标函数中，就可以得到一个下界，结合分支定界方法和区域割技巧可以容易得到原问题的最优值与最优解．的分支定界算法，并给出了凹背包问题的０－１线性化分支定界算法，最后给出了数值结果２００４年上海大学硕士学位论文则在区间ｈ，』‘］上，Ｊ扛，）的上逼近凹函数为过两点（％，＾（％）），（岛，＾（口Ｊ））的一条直线：Ｌｊ（ｘｊ）＝，Ｊ（ｑ）＋ｓｊ（ｘｊ—ｎＪ），其中旷｛∥鬟线性逼近函数见图（４．１）所以／（ｘ）＝∑釜。疗（ｑ）在箱子陋，捌的上逼近凹函数可以３５｝塑ｏ¨：¨Ｏ２（１４０６０８１３１０。１２０１４０１５０１８０２００图ｑ１一“，）的线性逼近函数写为：Ｔ，““Ｌ（ｒ）＝∑与（ｑ）＝∑（方（ｎＪ）一ｓ，ｃｑ）＋∑ｓｊＸｊＪ＝１Ｊ＝ｌＪ＝１令ｓ。＝∑≈－（乃（ｑ）一ｓｊＱｊ），别我们就可以得到子问题（ｓＰ）的线性上逼近问题“Ｐｍ地∞＝｝严，量咖０＝乃＜一饥吖＜一Ｔ，印。∑岸≤毋。∑州渤。ｍ魄２００４年上海大学硕士学位论文３３其中ｓ，是Ｌ（ｘ）中ｚ，的系数，ｓｏ是Ｌ（ｚ）的常数项．由于＾是非减的函数，所以ｓｊ≥ｏ（ｊ＝１，…，ｎ）．再加上工，（ｚ，）是线陉函数即凹函数，从而知（ＬＳＰ）是一个带有线性目标函数的凸背包问题，接下来的任务就是把（ＬＳＰ）转化成一个等价的０－１线性背包问题来求解．事实上，如果．ｒ＋是（ＬＳＰ）的一个最优解，，＋是（ＣＣＫＰ）的最优值，则我们有，（矿）≤ｆ’兰Ｌ｛ｘ＋），即由线性逼近得到的问题的最优值是原问题的一个上界，而此时得到的最优解带入原问题就得到原问题的一个下界．这样可以利用分支定界方法逐步缩小上下界的距离，宜到找到原问题的最优值．为了尽快寻找到问题的最优解，这里用到了单调性和区域割方法．§４．２区域割方法令ｎ，口∈ｚ“，其中ｚ，ｔ表示”中整数点的集合，【ｎ，例表示由ａ，ｐ组成的箱子（ｈｙＩ）ｅｌ·ｒｅｃｔａｎｇｌｅ），即ｈ例＝缸ｌＯｅ。≤ｑ≤岛，Ｊ＝ｌ，…，ｎ）定义（ａ，卢）为陋，剜中整数点的集合：（ａ，ｐ）＝ＩＩ（０：９．日）＝（ＯＬｌ，０１）בｘ（ｏｍ口ｎ）．Ｊ：１集合（ａ，口）称为一个整箱子．为方便起见，如果ｎ菇卢，则定义ｈ口】＝（。，口）＝０．令ｋ（２ｈ，ｆ，，）、ｔ一（¨ｊ．．．¨．）则（ＣＣＫＰ）中区域ｘ的整数点就可以表示为（２，ｔ‘）由，。ｇｊ的单调性，我们有下面的结论：性质４．２．１如果Ｔ∈（２ｔ。）是（ＣＣＫＰＪ的一个可行点，则对Ｖ焉∈（１，ｚ）都有，（ｉ）≤，【ｚ），所以（２，ｉ）可以从（１，ｔ。）中去掉而不会丢掉ｆＣＧＫ引的任何最优解．下面的引理则说明（２，ｕ）＼（ｆ．Ｘ）可以分解为多个不相交的整数箱子的并集，从而可以在得到的每个小整数箱子上都可以解（ＬＳＰ），可以改善整个问题的上界与下界引理４．２．Ｉ令Ａ＝（ｎ口）且Ｂ＝（１．占），其中ｎ，口，１，６∈ｚ”且ｎ≤１曼ｄ≤卢．则－４＼Ｂ＝｛ｕ知。（Ⅱｊ，－。Ｉ（ｎ。６。）×（如＋ｌ，岛）×Ⅱ：：，＋ｌ（叫，觑）））ｕ｛ｕ等，（ｎ留（％以）×（ｎ，，∞一１）×ｎ５ｊ＋ｌ（。。，ｔ）））证明见（㈤例４．２．１“０，３）×（（１．∞｝＼｛（１．２ｊ×（１．∞）（０．：埘Ｕ“ｌ２）×《０．０”２００４年上海大学硕士学位论文§４．３整数规划中的分支定界方法考虑一般的整数规划问题：ＩＰ）ＺＩｐ＝ｍａ．ｘ｛ｆ（ｘ）：３２∈ｓ｝整数规划中的分支定界就是利用松弛等方法将问题的可行域Ｓ划分为一些子集（ｓｄ（ｊ＝ｌ…，≈）的形式，然后在这些子集上求解相应的规划问题，最终根据上下界得到原问题最优解的一种方法．定义４．３．１如果Ｕ名ｌ岛＝Ｓ，则称（岛，Ｊ＝１…，ｋ）是Ｓ的一个分割（ｄｉｖｉｓｉｏｎ）；如果Ｓｎｓｊ＝Ｏ（ｉ，ｊ＝１，．．，ｋ，ｉ≠Ｊ）．则称这个分割为Ｓ的一个剖分（ｐａｒｔｉｔｉｏ州．性质４．３．１令（ＩＰ’）４Ｐ＝ｍ≈ｘ｛ｆ（ｘ）：。∈岛），其中｛岛）÷：Ｉ是Ｓ的一个分割，则ｚｉｐ＝ｍａｘｊ：ｌ¨，＾。；Ｐ．此性质说明如果整数规划问题在可行域Ｓ上很难求解，且在更小的集合上比较容易求解，则可以把可行域进行分割，而且这个步骤可以重复进行，这样一个分割可行域的过程称为一个枚举树，对于给定的一个父结点如Ｓｌ，其子结点Ｓｌｌ，Ｓ１２，Ｓ１３就代表了它的一个分割．定义４．３．２假设ｓ被分离成子集｛Ｓｍ．瓯），如果确定ｓＪ没必要继续分离，则称Ｓ可以从枚举树中剪除，即分支定界中的剪枝．性质４．３．２在枚举树中，如果有下面三种情况中的一种发生，鱼都可以被剪枝：１，不可行性：Ｓ＝０：２，最优值性：得到了（，Ｐ）的最优值；３．值占优：在此结点得到的最优值小于原问题的当前最优解．下面给出一个最基本的求解整数规划（ＩＰ）的分支定界算法．其中工表示整数规划问题（ＩｐＪ）的集合，ｉ是原问题（，Ｐ）的下界，而ｉ，则是原问题（，尸）的一个上界算法４．３．１第一步（赋初值）：Ｌ：“，Ｐ）｝Ｓ）＝Ｓ．ｊｏ＝。。，！＝一。。第二步（终止标准）：如果Ｌ＝（ｉ】，则㈨如果！＞一。ｃ此时的下界ｉ就是原问题的最优值；ｒＷ如果ｉ＝一。ｃ．则Ｓ＝０第三步（问题的选择与松弛）：从￡中选择一个问题（』纠），考虑其松弛问题（兄纠），２００４年上海大学硕士学位论文３５如果松弛问题存在最优解．Ｆ名．相应的最优值为。女。并把此问题从Ｌ中减掉．ｇ四步（剪枝）：ｒⅡＪ如果：二≤ｉ，转ｇ二步；，＂如果砝《Ｓｊ，转第五步；俐如果ｚ南∈０且ｚ★＞ｉ．令！＝晶从Ｌ中去除所有ｚｊｓｉ的问题，如果。☆＝ｚｉ转第二步，否则转第五步．第五步（分支）：令（ｓｕ｝翟ｌ是与的一个分割，把一ｚｉｊ＝。ｈ（Ｊ＝１，…，ｋ）的子问题放入集合Ｌ中，转第Ｚ－步．§４．４０－１线性化矜支定界算法本节把Ｏ－１线性化和分支定界法结合起来，借助于区域割技巧，构造了一个求解非线性凹背包问题的算法．算法中要用到下面的符号：·．。㈣。表示当前最好的可行解；·＾。表示当前最好解相应的目标函数值；·ｎ表示有可能存在最优解的整箱子的集合；·ｘ‘表示在第≈次迭代中存在的整箱子的集合，算法４．４．１初始步ｒ峨初值Ｊ’如果．Ｂ＝ｆ对于（ＣＣＫＰ）是不可行的，则原问题没有可行解，终止．否则，令。‰￡＝ｆ，＾州＝，（。ｆｌｅ“），Ｘ１＝（１，Ⅱ），Ｙ１＝Ｘ１，Ｚ‘＝０ｋ＝１．第一步：陇性逼近／？考虑每个（ｄ，口）∈ｐ，如果ｇ（ａ）＞ｂ，则令Ｙ‘：＝Ｙ‘＼（ｏ，口）；如果ｇ（口）≤ｂ．则矿＝。｛且Ｌ（ｘ３）＝弹扩）＝，（ｐ）：否地通过用隐枚举法解（ｏ－ｔ即）以得到阻ｓＰ）的最优解令３。１是化ｓｐ）的最优解．如果，（矿）＞＾。ｍ设‰“＝，（矿），ｌｂｊ～ｔ２Ｚ＋第二步ｒ去除Ｊ？令ｊ）＝０】对于每个（ｎ，伪∈Ｘ。＝ＹｏｕＺ‘，如果Ｌ（ｘ３）＞＾“，令ｆ２：＝Ｑｕ（ｎｎ如果ｒ）＝０１终土，。“。ｆ是ｒｃ１ＣⅣ州的一个最优解．第三步件ｔＪ分与定界√ｊ令，㈧，，）表示在（吼ｄ）上解（ＬＳＰ）而得到的Ｌ（矿）的上界．选择（５．卢）∈ｎ作为获得最大值，，（“，口】的整箱子：＾２７’（ｉ、口）２（嬲｛７㈤疗）令砂＋１表示从ｎ中去除（ｄ，声）后的整箱子．令矿表示当＆＝ａ，口＝口时伍ｓ刊的最优解．Ｙ。＋１＝（ａ．西）＼（ａ，ｉ８）２００４年上海大学硕士学位论文３６利用引理“２．纠把Ｙ‘７１剖分成整箱子的并集的形式．设Ｘｋ＋ｌ：ｙｋ＋ｌＵＺｋ＋１．ｋ：＝ｋ＋１，转第一步．例４．４．１求解非线性凹背包问题：ｎｉｃｋ２ｘ｛＋ｚ】＋？；＋３ｘ２ｓｔ譬；＋３４ｘｌ＋２ｘ；＋１８２２≤１０９，０≤。Ｊ≤３，。Ｊｉｎｔｅｇｅｒ，．ｊ一１，２Ｓｔｅｐ０：令ｆ＝（ｏ，ｏ），¨＝（３，３）由于目（ｆ）＝０＜ｂ＝１０９，则令。‰ｃ’＝ｆ，＾。“＝，（。ｂ。“）＝０，Ｘ１＝Ｙ１＝（１，Ⅱ）＝（ｏ，ｏ）×（３，３），Ｚ１＝Ｄ，≈＝１．Ｓｔｅｐｌ：９（ｕｊ＿１８３＞ｂ＝１０９，则构造（ＬＳＰ）：（ＬＳＰ）ｉｉｌ＆ｘ７。１＋６ｘ２ｓｔｚ｛＋３４ｘ１＋２ｘ；十１８ｘ２≤１０９，０≤ｘｊ≤３，ｘｊｉｎｔｅｇｅｒ，Ｊ＝１，２．（０—１ＫＰ）ｍｇｘ７ｗｌ＋７［ｔ：２＋７ｗ３＋６ｔ１７４＋６ｗ５＋６ｗ６ｓｔ３５．’ｉ＋３７“１２＋３９ｗａ＋２０ｗ４＋２４ｉｖ５＋２８叫６曼１０９，ｗｉ∈｛０１｝，Ｊ＝１…．．６（ＬＳＰ）的最优解为矿＝（１，３），最优值为Ｌ（矿）＝２５，得到原问题的一个上界．把矿Ｓｔｅｐ２Ｌ（。。）＞＾“，转下一步．Ｓｔｅｐ３：构造ｘ２＝（ｆ，ｕ）＼（ｆ、＿５）＝（ｏ．ｏ）×（３３）＼（Ｏ，１）×（ｏ，３）＝（２，３）×（ｏ，３），解：把（ＬＳＰ）转化成一个等价的（０－ＩＫＰ）问题：利用隐枚举法得（０－１ＫＰｊ的最优解为ｗ５＝（１，０，０，１，１，１），最优值为。＝２５，故得带入原问题的目标函数，得一个下界，（扩）＝２１．因为＾Ⅲ＜ｙ（ｚｓ），则记＾。“＝ｆ（２９）＝２１，５５一＝一＝（１，３）．转下一步．转第一步２００４年上海大学硕士学位论文３７Ｓｔｅｐｌ：ｇ（２０）＜ｂ，９（３，３）＞ｂ，则构造（ＬＳＰ）（ＬＳＰ）ｍａｘ１１１１ｌ十６ｘ２一１２ｓｔ、。ｉ＋３４ｘｌ十２ｚ；＋１８ｘ２≤３７，巩∈（２，３），Ｘ２∈（０，３）．把（ＬＳＰ）转化成一个等价的（０－１ＫＰ）问题：ｆ０一ｌⅣＰ１ｍａｘ１１２０１＋６ｗ２＋６ｗａ＋６ｗ４＋１０ｓｔ３９ｗｌ＋２０ｗ２＋２４ｗ３＋２８ｗ４≤３７，ｗ，∈｛ｏ，１），ｊ＝ｌ，…，４利用隐枚举法得（０－１ＫＰ）的最优解为ｌ扩＝（０，１，０，ｏ），最优值为＝＝１６，故得（ＬＳＰ）的最优解为矿＝（２，１），最优值为Ｌ（：一）＝１６．得到原问题的一个上界．把ｘ８带入原问题的目标函数，得一个下界，（矿）＝１４Ｓｔｅｐ２：因为血“＞Ｌ（ｚ。），则ｎ＝０．算法终止，原问题的最优解为ｚｋ“＝（１，３），最优值为＾ｗ＝２１§４．５数值结果为了验证算法（４４１）的可行性和有效性，我们给出了两类凹背包问题的试验数值结果及结论．４．５．１．问题测试问题具有如下的形式：ｍａｘ几，）＝∑叩，＋“一１ｊ¨，ｑｓｆⅣ（ｚ）－∑”，＋”；≤ｂ、Ｊ＝１ｘ∈Ｘ＝（１ｊｓ．ｒＪｓｔ。，，：ｒｊｉｎｔｅｇｅｒ根据函数系数的选择，这里考虑了两类问题：（Ｐ１）：ｙ（ｘ）是凸二次函数，其中勺，ｄｊ＞０，ｅｊ＝ｏ（．ｊ＝ｌｎ）（Ｐ２）：，（ｚ）是三次多项式函数，其中ｃＪ，ｄｊ，勺＞ｏ（．７＝１ｎ）２００４年上海大学硕士学位论文３８在所有的测试例子中，』Ｊ＝１．ｑ＝５其它参数在以下区间中取值（Ｊ＝１，…，ｎ）：（ｐ１）：ｃｊ∈【１，３０】、呜∈［１，１０］，啦∈【１．７０】，％∈１０：１】；（ｐ２）：勺∈【ｌ，４０】吗∈［１，ｉｏ］，ｅＪ∈【ｌ，２０’’啦∈｛１，３００］，∞∈（１，ｌｏ］．为了保证问题存在可行解，约束右端项的取值为６＝ｇ（ｆ）＋ｒ（ｇ（¨）一９（２）），其中ｒ∈（ｏ，１）４．５．２．数值结果及结论此算法由Ｆｏｒｔｒａｎ９０编程，在奔腾４ＰＣ上运行的．数值结果在表格（４１．４．２）中，其中要用到下列符号：·ｎ＝变量的数目即问题的规模；·ｒｂ＝随机产生问题的个数；·Ｍｉｎ，Ｍａｘ．Ａｉ，ｇ＝分别表示最大，最小和平均值．本章提出的０－Ｉ线性化分支定界方法可以求解规模从２０到１４０的非线性背包问题，而且从表中可以看出此方法求解此类规模的问题还是比较快的．但是随着问题的规模的增加，在求解过程中产生的整箱子也随之增多，这就增加了内存的需求量．墨！：！！ｆ！１２塑塑堕堕墨壁三！：１２迭代次数箱子个数ＣＰＵ时间（ｓ）ｎ～ＭｉＩｌＭａｘＡｖｇＭｉｎＭａｘＡｖｇＭｉｎＭａｘＡｖｇ２００４年上海大学硕士学位论文３９壹！：里１２塑墼焦蕉墨（！三！：！！迭代次数箱子个数ＣＰＵ时间（ｓ）“７。”ＭｉｎＭａｘＡｖｇＭｉｎＭａｘＡｖｇＭｉｎＭａｘＡｖｇ第五章结论本文给出了ｏ＿１线性化方法求解非线性背包问题．利用函数的凸性以及单调性直接把凸背包问题转化为一个等价的ｍ１线性背包问题，利用隐枚举法或动态规划方法求解这个ｏ．１线性背包问题，就可以等到原问题的最优解和最优值．在『６１中给出了解央凸背包问题的ｏ．１线性化方法，但是并没有给出数值结果．本文不仅给出了ｏ，１线性化解凸背包问题的数值结果，而且还与Ｐｅｇｇｉｎｇ方法以及拉格朗日对偶和区域割方法做了数值比较，充分说明了此方法的优越性．凹背包问题目标函数是一个凸函数，不能直接将其转化成等价的０－１线性背包问题，且将变量整数约束去掉后的松弛问题是一个全局最优化问题，松弛问题则不好求解，基于这些困难和凸背包问题的０－Ｉ线性化方法的优越性，本文给出了一个ｏ。Ｌ线性化分支定界方法，具体做法是先用一个逐段线性函数逼近目标函数，得到一个凸背包问题，利用０．１线性化方法求解得到原问题的一个上界，同时可以得到一个下界，利用分支定界方法和区域割技巧，可以迅速找到凹背包问题的最优解，最后用数值例子说明了此算法的有效性．本文将来可做的工作之一是提出更好的方法来解决０－１线性化之后那些“难”的问题，另外一个工作是寻找更好的方法求解非线性凹背包问题，这方面的其它研究结果可以参看文㈨参考文献【ｌ】ＫＭＢｒｅｔｔｂａｕｅｒｇｉｌｄＢＳｈｅｔｔｙＴｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｒｅｓｏｔｌｒｃｅａｌｌｏｃａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅＨｌＯｐｔｒ．Ｒ∞一４３６７０－６８３１９９５（２】ＭＤｊｅｒｄｊｏｕｒ．ＫＭａｔｈｕｒ，ａｎｄＨＭＳａｌｋｉｎ．ＡｓｕｎｏｇａｔｅＩｅｌａｘａｔｉｏｎｂａ．ｓｅｄｏｎａＩｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒａｇｅｎｅｒａｌｃｂｘｓ，ｓｑｕａｄｒａｔｈｍｕｋＪ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｍｆｌｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍＯｕｓｔ．ＲｅｓＬｅｔｔ．，７：２５３—２５８．１９８８｝３１ＤＨｏｃｈｂａｕｍＡｎｏｎｌｉｎｅａｌｋｎａｐｓａｃｋ１）ｒｏｂｌｅｍ却“．ＲｅｓＬｅｔｔ．１７：１０３一ｌｌＯ，１９９５［４ｊＤＬｉ，ＸＬＳｕｎ，ｏ．ｕｄＫ＊ｋ＇ＫｉｎｎｏｎＡＣＯｌｗｅｒｇｅｌｌｔｌａｇｌａｎｇｉａｎａｎｄｄｏｍａｉ｛１ｃｕｔｍｅ地ｏｄｔ＇ｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓＴｅｃｈｎｉｃａｌｒｅｐｏｒｔ，ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ＆ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＭａｎａｇｅｍｅｎｔ，ＴｈｅＣｌｆｉｎｅｓｅＵｎｉｖｅｔｓｉｔｙｏｆＨｏｎｇＫｏｎｇ，Ｓｈａｔｉｎ，ＮＴ，ＨｏｎｇＫｏｎｇ，２００２ｓｕｂｍｉｔｔｅｄｉｂｒｐｎｂｌｉｃａｔｌｏｎ［５１ＲＥＭａｒｓｔｅｎａｎｄＴＬＭｏｒｉｎＡｈｙｂｒｉｄａｐｐｒｏａｃｈｔｏｄｉｓｃｒｅｔｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇＭａｔｈＰｗｇｍｒａ，１４：２１—４０，１９７８【６】ＫＭａｔｈｕｒ，ＨＭＳａｌｋｉｎ，ａｎｄＢＢＭｏｈａｎｔｙ．ＡｌｌＯｃｅＯｉｌａｇｅｎｅｒａｌｎｏｎ．１ｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓＯｐｅｒ。Ｒｅｓ．Ｌｅｔｔ．５：７９～８１，１９８６．吲ＴＬＭｏｒｉｎａｎｄＲＥＭａｒｓｔｅｎＡｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｎｏｌｌｌｌｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓＭｔｐｎｔＳｃｉ２２：１１４７—１１５８１９７６｛８］ＴＬＭｏｒｉｎａｎｄＲＥＭａｒｓｔｅｎＢｒａｎｃｈｌｕｌｄｂｏｔｍｄｓｃ＿ｒａｔｅｇｉｅｓｆｏｒｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇＯｐｅｒＲｅｓ，２４：６１１—６２７．１９７６１９】ＸＬＳｍｌａｎｄＤＬｉＯｐｔｉｍａ］ｉｔ３ｃｏｍｌｉｔｉｏｎａｆ）ｄｂｒａｎｃｌｌａｎｄｂｏｕｎｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ如ｒＣＯｎｓｔｒａｉｎｅａｔｒｅｄｌｌｔｌｄａｈｅｙｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｉｎｓｅＩｉｅｓｓｙｓｔｅｌａｓＯｐｔｉｍＥｕ９３：５３—６５，２００９ＷＣｏｏｐｅｒＳｍ、ｅ３。ｆｍｅｔｈｏｄｓｏｆｐｕｒｅｎｏｎｔｉｏｅａｌｉｎｔｅｇｅｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇＭｇｍｔＳｃｉ．２７：３５３—３６１，１９８１ｗＣｏｏｐｅｒＴｉｍｕｓｅｏｆｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｇｉａｌｌｕｎｉｏｇｆｏｒｔｈｅｓｏｈｌｔｉｏｎｏｆａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｎｆｉｎｇＮａｖａｌＲｅｓＬｏｇｉｓｔＱｕａｒｔ，２７：８９—９５，１９８０ＫＧｕｐｔａａｎｄＡＲ乱ｉｎｄｒａｎＢｒａｎｃｈａｎｄｂｏｔｍｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｉｎｃｏｉｌｖｅｘｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｎｔｅＥｅｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇＭｇｍｔＳｃｉ．，３ｉ．１５３３．１５４６，１９８５ＭＢｒｅｔｔｈａｕｅｒａｌｌｄＢＳｈｅｔｔ）ｆ．Ａｐｅｇｇｉｎｇａｌｇｏｌ’ｉｔｌｎｎｆｏｒｔｉｌｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｒｅｓｏｕｒｃｅａｌｌｏｃａｔｉ。ｎｐｒｏｂｌｅｍＣｏｒｎＦｕｔｅｒｓ＆ＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈ．２９：５０５—５２７２００２ＢｅｌｌｍａｎＳｏｍｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｔｌｌｅｏ＊Ｙｏｆｄｙｎａｍｉ‘ｐｌｏｇｔａｎｎｎｉｎｇ—ａｒｅ＇ｄｅｗ，Ｏｐｅｒ．Ｒｅｓ，２（２ｊ：２７５—２８８．ｉ９５４ＢｅｌｈｎａｎＮｏｔｅｓＯｌｌｔｉｌｅｔｈｅｏｔ、ｏｆｄｙｔｌａｌｎｉｃＩｕＯｇｌａｍｍｉｕｇＩＶ—ｍａｘｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｖｅｒｄｉｓｃｒｅｔｅｓｅｔｓ．Ｖａｔ：ａｌ拧“Ｌｏｑｔ＾ｐｆⅢｒｔ３：６７．７０１９ｊＧ１０］Ｍ１１】Ｍ１２】Ｏ１３］Ｋ１４】Ｒ１５］Ｒ２００４年上海大学硕士学位论文１６】ＲＢｅＩｈｎａａＣｏｍｍｅｎｔ０１１Ｄａｎｔｚｉ９１ＳｐａｐｅｒＯｉｌｄｉｓｃ、ＩｅｔｅＶａｌｉａｂｌｅｅｘｔｒｅｍｕｍｐｒｏｂｌｅｍｓＯｐｅｒ．Ｒｅｓ．５（５）：７２３—７２４１９５７１７］ＲＢｅｌｌｍａｎａｎｃＬＳＤｔｅ３，｝ｕｓＡｐｐｌｉｅｄｄ３’ｌｉａｌｌｌｉＣｐｒｏｇｒａｌｎｌｎｉｌｌｇＰｒｉｎｃｅｔｏｒ。Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ＿ＤｍⅫ，１９６２１８ｊＧＤａｎｔｚｉｇＤｉｓｃｒｅｔｅ·ｖａｒｉａｌｂｅｅｘｔｒｅｎｌｕｎｉｐｉｏｂｌｅｎｌｓＯｐｅ，兄ｅ５，５（２）：２６６—２７７，１９５７１９１ＧＤａｎｔｚｉｇＬｉｎｅａｒｐｒｏｇｒｍｍｎｉｎｇａｎｄｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓＰｒｉｎｃｅｔｏｎＵｎｉｕｅｒｓｉｔｙＰＴｅｓｓ，１９６３２０】ＨＧｒｅｅｎｂｅｒｇＡｎＭｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆｋｎａｐｓａｃｋｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅ－ｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．，２６：１５９—１６２，１９６９２１１ＰＫｏｌｅｓａｒＡｂｒａｎｃｈａｎｄｂｏｕｎｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｔｈｅｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍＭｙｍｔ＆ｋ１３（９）：７２３－７３５．１９６７２２１ＶＣａｂｏｔＡｎｅｌｎｌｎｌｅｒａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｌｎｎｆｏｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ，ＯｐｅｒＲｅｓ．１８（２）：３０６－３１１，１９７０２３ｉＢＦａａｌａｎｄＳｏｈｔｔｉｏｎｏｉｔｈｅｖａｌｕｅ—ｉｎｄｅｐｅｉｌｃｌｅｎｔｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｂｙｐａｒｔｉｔｉｏｎｉｎｇ０ｐ＂Ｒｅｓ，２ｌ（１）：３３２—３３６．１９７３２４】ＨＧｒｅｅｎｈｅｒｇａｎｄＲＨｅｇｅｌｉｃｈＡＩ）ｒａｎｃｈｓｅａｒ（ｈａｌｇｏｉｉｔｌｎｎｆｏｌｔｈｅｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍＭｇｍｔＳｃｉ１６（５）：３２７－３３２１９７０２５＿ｔｌＥｖｅｒｅｔｔＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＬａｇｒａｎｇｅｍｕｌｔｉｐｌｉｅｌｉｎｅｔｈｏｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｏｐｔｉｍｕｎ＇ｌａｌｆｏｃａ—ｔｉｏｌｌｏｆｒｅｓｏｕｌｃｅ８ＯｐｅｒＲｅｓ，Ｉｌ（３）：３９９·４７１．１９６３９６１ＢＦｏｘａｎｄＦＬａｎｄｉＳｅａｒｃｈｉｎｇｔｏＩｔｈｅｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｉｎＯｌｌｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｏｐｅｒ．Ｒｅｓ，１８（２）：２５３·２６２，１９７０２７】ＰＨａｍｍｅｒａｎｄＳＲｕｄｅａｎｕＢｏｏｌｅａｎｍｅｔｈｏｄｓｉｎｏｐｅｒａｔｉｏｎｓｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄｒｅｌａｔｅｄａｒｅａｓＮｅｗＹｏｒｋ：Ｓｐ，ｉｎｇｅｒ—Ｖｅｔｌａｇ．１９６８２８ｌＧＳｈａｐｉｒｏＤｙｎａｍｉｃｐｒｏｇｒａｍｍｈｌｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｉｔｉｌｅｉｎｔｅｇｅｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｌ：ＴｈｅｉｎｔｅｇｅｒｐｒｏｇｒａｎｕａｉｕｇｐｌｏｂｌｅｍｖｉｅｗｅｄａｓａｋｎａｐｓａｃｋｔｙｐｅｐｔｏｂｌｅｍＯｐｅｒＲｅｓ．，１６（１）：１０３—１２１，１９６８２９】ＧＳｈａｐｉｒｏＧｅｎｅｉａｌｉｚｅｄＬａｇｉａｎｇｅｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｓｉｎｉｎｔｅｇｅｌ１）ｒｏｇｒａｎｕｎｉｎｇＯｐｅＴ．Ｒｅｓ，１９（１）：６８－７７１９７１３０１ＧＳｈａｐｉｉ（１ａｎｄＨＷａｇｎｅｌＡｆｉｎｉｔｅｒｅｌｌｅＷＥｄａｌｇｏＩｉｔｈｍｆｏｒｔｉｌｅｋｎａｐｓａｃｋａｎｄｔｕｒｎｐｉｋｅｍｏｄｅｌｓ（）耻，Ｒｅ．ｓ、１ｊ（２＂１９－３一１１，１９６７［３１１ＨＺｉｅｇｌｍＳｏｌｖｉｎｇｃ．ｅｌｔａｉｎｓｉｎｇｈ（＇ｏｉｌｓ［１ａｉｌ／ｅ（］（ＯｌｌＶｅｘｏｐｔ［１ｎｉｚＨ．ｔ，ｆｏｒｔｐｌ。ｏｂＩｅｍｓｉｎｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎｐｌａｎｎｉｎｇＯｐｅｒＲｅｓＬｅｔｔｌ：２４６—９５＇２１９８２［３２］ｔｌＬｕｓｓａｎｄＳＫＧＩＩｐｒａＡｌｌｏｃａｔｉｏｎｏｆｅｆｆｏ，ｔＩｅＳｏｔｌｒｃｅｓａｍｏｎｇｃｏｍｐｅｔｉｎｇａｃｔｉｖｉｔｉｅｓＯｐｅｒ．Ｒｅｓ，２３：３６０．３６６，１９７５ｆ３３］ＫＭａｔｈｕｒ，ＨＡＩ，ＳａｌｋｉｎａｎｄＳＭｏｒｉｔｏＡｂｒａｎｃｈａａｄｓｅａｒｃｈａｌｇｏｒｉｔｌｎｎｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｕａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓＯｐｅｓＲｅｓＬｅｔｔ，２：１５５—１６０．１９８３２００４年上海大学硕士学位论文３４１Ｓ４３ＧＴｚａｆｅｓｔａｓＳｃｉＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｆｓｙｓｔｅｍｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ：Ａｓｕｒｖｅｙｏｆｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｌｌ：４５５·４８６．１９８０／ｎｔ上Ｓｙｓｔ３５ＩＷＥＧＣｏｃｈｒａｎＳａｍｐｌｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓＮｅｗＹｏｒｋ：Ｗｉｌｅｙ．１９６３３６１Ｌ．ＬａＭｅｒＦａｓｔａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｍａｔｈ．∞ｍＲｅｓ．，４：３３９一９５５。１９７９，３７１ＤＳＨｏｃｈｂａｕｍＴｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｋｎａｐｓａｃｋｐｒｏｂｌｅｍＳｃｈｏｏｌｏｆＢｕｓｉｎｅｓｓＡｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎａｎｄＩＥＯＲＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＵｎｉｖｍｓｉｔｙｏｆＣａｌｉｉｂｌＩｌｉａ．Ｂｅｒｋｅｌｅｙ，１９９３３８１ＧＲＢｉｔｒａｎａｎｄＤＴｉｒｕｐａｔｌＴｒａｄｅｏｆｆｃｕｒｖｅｓ，Ｔａｒｇｅｔｉｎｇａｎｄｂａｌａｎｃｉｎｇｉｎｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇｑｔｔｅｕｅｉｎｇｎｅｔｗｏｒｋｓ０ｂＨｓＲｅ５．３７：５４７—５６４．１９８９Ｈｕｒｗｉｔｚａｎｄ３９１ＭＨＨａｎｓｅｌｌ、、ＮＷＧ＾Ｉｎ（１０ｗＳａｍｐｌｅｓｕｒｖｅｙｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｔｈｅｏｒｙ，ＶｏｔｎｍｅｓＩａｎｄＩＩＮｅⅢ｝ｂｒｋ：ＪｏｈｎＷｉｌｅｙ，１９５３
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